A emissão de partículas radioativas tem sido modelada através de uma distribuição de Poisson, com o valor do parâmetro dependendo da fonte utilizada. Suponha que o número de partículas alfa, emitidas por minuto, seja uma variável aleatória seguindo o modelo Poisson com parâmetro 5, isto é, a taxa média de ocorrências é de 5 emissões a cada minuto. Calcular a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um minuto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre emissão de partículas radioativas modeladas por uma distribuição de Poisson. O foco aqui é descobrir a probabilidade de ter mais de 2 emissões de partículas alfa em um minuto, sabendo que, em média, são emitidas 5 partículas por minuto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a distribuição de Poisson e como calcular probabilidades com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de ocorrências de um evento que acontece de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço. No nosso caso, o evento é a emissão de partículas alfa por minuto.
A fórmula da probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos em um intervalo é dada por:
Aqui, $ \lambda $ é a taxa média de ocorrências (no nosso caso, 5 emissões por minuto), $ e $ é a base dos logaritmos naturais, e $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de haver mais de 2 emissões em um minuto, ou seja, $ P(X > 2) $. Isso é o mesmo que dizer:
Então, vamos calcular $ P(X \leq 2) $, que é a soma das probabilidades de ter 0, 1 ou 2 emissões.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson com $ \lambda = 5 $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Passo 5
Agora, vamos somar essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 2) $:
Passo 6
Finalmente, para encontrar $ P(X > 2) $, subtraímos essa soma de 1:
Resposta
A probabilidade de haver mais de 2 emissões de partículas alfa em um minuto é aproximadamente 87,54%.