Lotes de 40 componentes cada são chamados de inaceitáveis se contiverem três ou mais itens defeituosos. O procedimento para a amostragem do lote é selecionar cinco componentes aleatoriamente e rejeitar o lote se um item defeituoso for encontrado. Qual é a probabilidade de que exatamente um item defeituoso seja encontrado na amostra se há três defeituosos no lote inteiro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um lote com 40 componentes, dos quais 3 são defeituosos. A regra é pegar 5 componentes de forma aleatória e rejeitar o lote se encontrar pelo menos 1 defeituoso. Queremos saber a probabilidade de encontrar exatamente 1 item defeituoso nessa amostra. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, especificamente a distribuição hipergeométrica, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
  • N = total de componentes no lote = 40
  • D = número de componentes defeituosos = 3
  • n = tamanho da amostra = 5
  • k = número de defeituosos que queremos encontrar na amostra = 1

Passo 3

A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
P(X = k) = binomDk times binomN - Dn - kbinomNn
Isso significa que a probabilidade de encontrar exatamente k defeituosos na amostra é igual ao número de maneiras de escolher k defeituosos dos D disponíveis vezes o número de maneiras de escolher os componentes bons, dividido pelo número total de maneiras de escolher a amostra.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. binomDk: Número de maneiras de escolher 1 defeituoso dos 3 disponíveis.
binom31 = 3
  1. binomN - Dn - k: Número de maneiras de escolher 4 componentes bons dos 37 disponíveis.
binom374 = 37!4! times (37 - 4)! = 66045
  1. binomNn: Número total de maneiras de escolher 5 componentes dos 40.
binom405 = 40!5! times (40 - 5)! = 658008

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula:
P(X = 1) = 3 times 66045658008
Vamos calcular o numerador:
3 times 66045 = 198135

Passo 6

Dividindo pelo denominador:
P(X = 1) = 198135658008 approx 0,301

Resposta

A probabilidade de encontrar exatamente um item defeituoso na amostra é de aproximadamente 30,1%.

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