Lotes de 40 componentes cada são chamados de inaceitáveis se contiverem três ou mais itens defeituosos. O procedimento para a amostragem do lote é selecionar cinco componentes aleatoriamente e rejeitar o lote se um item defeituoso for encontrado. Qual é a probabilidade de que exatamente um item defeituoso seja encontrado na amostra se há três defeituosos no lote inteiro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um lote com 40 componentes, dos quais 3 são defeituosos. A regra é pegar 5 componentes de forma aleatória e rejeitar o lote se encontrar pelo menos 1 defeituoso. Queremos saber a probabilidade de encontrar exatamente 1 item defeituoso nessa amostra. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, especificamente a distribuição hipergeométrica, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
- N = total de componentes no lote = 40
- D = número de componentes defeituosos = 3
- n = tamanho da amostra = 5
- k = número de defeituosos que queremos encontrar na amostra = 1
Passo 3
A fórmula da probabilidade hipergeométrica é:
Isso significa que a probabilidade de encontrar exatamente k defeituosos na amostra é igual ao número de maneiras de escolher k defeituosos dos D disponíveis vezes o número de maneiras de escolher os componentes bons, dividido pelo número total de maneiras de escolher a amostra.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
-
: Número de maneiras de escolher 1 defeituoso dos 3 disponíveis.
-
: Número de maneiras de escolher 4 componentes bons dos 37 disponíveis.
-
: Número total de maneiras de escolher 5 componentes dos 40.
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula:
Vamos calcular o numerador:
Passo 6
Dividindo pelo denominador:
Resposta
A probabilidade de encontrar exatamente um item defeituoso na amostra é de aproximadamente 30,1%.