Um inspetor de qualidade recusa peças defeituosas numa proporção de 10% das peças examinadas. Calcular a probabilidade de que sejam recusadas:
a) Pelo menos 3 peças de um lote com 20 peças examinadas.
b) No máximo 2 peças de um lote de 25 peças examinadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um inspetor que rejeita peças defeituosas em 10% das vezes. A questão é calcular a probabilidade de rejeitar:
a) Pelo menos 3 peças em um lote de 20 peças.
b) No máximo 2 peças em um lote de 25 peças.
Vamos usar a Distribuição Binomial para resolver isso, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas opções possíveis (sucesso ou falha). Aqui, “sucesso” pode ser considerado rejeitar uma peça defeituosa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. A fórmula geral é:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (peças examinadas).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (peças rejeitadas).
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (10% ou 0,10).
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 3

Parte a): Queremos calcular a probabilidade de rejeitar pelo menos 3 peças em 20 examinadas.
Pelo menos 3” significa que podemos ter 3, 4, 5, …, até 20 peças rejeitadas. Mas calcular cada uma individualmente pode ser trabalhoso, então vamos usar o complemento.
A probabilidade de pelo menos 3 é igual a 1 menos a probabilidade de rejeitar no máximo 2 peças.
Então:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)

Passo 4

Vamos calcular $ P(X \leq 2) $ para $ n = 20 $, $ p = 0,10 $:
P(X <= 2)
Calculando cada termo:
  1. Para $ k = 0 $:
n = 20
  1. Para $ k = 1 $:
p = 0,10
  1. Para $ k = 2 $:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
Somando esses valores:
k = 0

Passo 5

Agora, voltando à parte a):
P(X >= 3) = 1 - 0,6770 = 0,3230
Então, a probabilidade de rejeitar pelo menos 3 peças em 20 examinadas é de aproximadamente 32,30%.

Passo 6

Parte b): Queremos a probabilidade de rejeitar no máximo 2 peças em 25 examinadas.
Aqui, já temos a forma direta:
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
Para $ n = 25 $, $ p = 0,10 $:
  1. Para $ k = 0 $:
n = 25
  1. Para $ k = 1 $:
p = 0,10
  1. Para $ k = 2 $:
k = 0
Somando esses valores:
P(X=0) = binom250 (0,10)^0 (0,90)^25 = 1 times 1 times 0,90^25 approx 0,0775

Resposta

a) A probabilidade de rejeitar pelo menos 3 peças em 20 examinadas é de aproximadamente 32,30%.
b) A probabilidade de rejeitar no máximo 2 peças em 25 examinadas é de aproximadamente 55,27%.

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