Um inspetor de qualidade recusa peças defeituosas numa proporção de 10% das peças examinadas. Calcular a probabilidade de que sejam recusadas:
a) Pelo menos 3 peças de um lote com 20 peças examinadas.
b) No máximo 2 peças de um lote de 25 peças examinadas.
a) Pelo menos 3 peças de um lote com 20 peças examinadas.
b) No máximo 2 peças de um lote de 25 peças examinadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um inspetor que rejeita peças defeituosas em 10% das vezes. A questão é calcular a probabilidade de rejeitar:
a) Pelo menos 3 peças em um lote de 20 peças.
b) No máximo 2 peças em um lote de 25 peças.
b) No máximo 2 peças em um lote de 25 peças.
Vamos usar a Distribuição Binomial para resolver isso, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas opções possíveis (sucesso ou falha). Aqui, “sucesso” pode ser considerado rejeitar uma peça defeituosa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Distribuição Binomial. A fórmula geral é:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (peças examinadas).
- $ k $ é o número de sucessos desejados (peças rejeitadas).
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (10% ou 0,10).
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 3
Parte a): Queremos calcular a probabilidade de rejeitar pelo menos 3 peças em 20 examinadas.
“Pelo menos 3” significa que podemos ter 3, 4, 5, …, até 20 peças rejeitadas. Mas calcular cada uma individualmente pode ser trabalhoso, então vamos usar o complemento.
A probabilidade de pelo menos 3 é igual a 1 menos a probabilidade de rejeitar no máximo 2 peças.
Então:
Passo 4
Vamos calcular $ P(X \leq 2) $ para $ n = 20 $, $ p = 0,10 $:
Calculando cada termo:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Somando esses valores:
Passo 5
Agora, voltando à parte a):
Então, a probabilidade de rejeitar pelo menos 3 peças em 20 examinadas é de aproximadamente 32,30%.
Passo 6
Parte b): Queremos a probabilidade de rejeitar no máximo 2 peças em 25 examinadas.
Aqui, já temos a forma direta:
Para $ n = 25 $, $ p = 0,10 $:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
Somando esses valores:
Resposta
a) A probabilidade de rejeitar pelo menos 3 peças em 20 examinadas é de aproximadamente 32,30%.
b) A probabilidade de rejeitar no máximo 2 peças em 25 examinadas é de aproximadamente 55,27%.