Uma lotação com capacidade para 5 passageiros, só pode parar no ponto de ônibus. A probabilidade de haver uma pessoa esperando lotação em um ponto de ônibus qualquer é de 0,3 e nunca há mais de um passageiro esperando a lotação. Roberto espera a lotação no décimo ponto de ônibus. Sabendo-se que a lotação saiu vazia do ponto inicial, qual a probabilidade de conseguir o último lugar na lotação?

Passo 1

Vamos resumir o que o problema nos apresenta. Temos uma lotação que pode carregar até 5 passageiros e só para nos pontos de ônibus. A probabilidade de haver uma pessoa esperando em qualquer ponto é de 0,3, e sempre tem no máximo uma pessoa esperando em cada ponto. O Roberto está esperando no décimo ponto de ônibus, e sabemos que a lotação saiu vazia do ponto inicial. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de o Roberto conseguir o último lugar na lotação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantas pessoas podem ter embarcado na lotação nos primeiros 9 pontos de ônibus antes do Roberto chegar no décimo ponto. Como a lotação tem capacidade para 5 passageiros e saiu vazia, queremos que, ao chegar no décimo ponto, já tenham 4 passageiros dentro dela, para que o Roberto ocupe o quinto e último lugar.

Passo 3

Cada um dos primeiros 9 pontos de ônibus tem uma probabilidade de 0,3 de uma pessoa estar esperando para embarcar. Queremos que exatamente 4 dessas 9 paradas tenham alguém esperando, para que a lotação tenha 4 passageiros antes do décimo ponto. Isso é um cenário típico de distribuição binomial, onde:
  • Número de tentativas (n) = 9
  • Probabilidade de sucesso em cada tentativa § = 0,3
  • Número de sucessos desejados (k) = 4

Passo 4

A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde $ C(n, k) $ é o número de combinações de n elementos tomados k a k, também conhecido como “combinação de n por k”.

Passo 5

Calculando $ C(9, 4) $:
C(9, 4)

Passo 6

Agora, aplicando os valores na fórmula:
P(4) = 126 times (0,3)^4 times (0,7)^5
Vamos calcular cada parte:
(0,3)^4 = 0,0081
(0,7)^5 = 0,16807

Passo 7

Multiplicando tudo:
P(4) = 126 times 0,0081 times 0,16807 approx 126 times 0,001363367 approx 0,1718

Resposta

A probabilidade de o Roberto conseguir o último lugar na lotação é aproximadamente 17,18%.

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