Empregando a desigualdade triangular, prove que \left|z_{1}+z_{2}\right| \geq\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|.

Passo 1

O que temos que provar é a desigualdade
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert \ge \lvert z_{1}\rvert - \lvert z_{2}\rvert.
O único ingrediente que vamos usar é a desigualdade triangular na forma
\lvert a + b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert.

Passo 2

Escolhemos
a = z_{1} + z_{2}, \quad b = -\,z_{2}
de modo que
a + b = (z_{1}+z_{2}) + (-\,z_{2}) = z_{1}.
Pelo triângulo,
\lvert z_{1}\rvert = \lvert a + b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert = \lvert z_{1}+z_{2}\rvert + \lvert -\,z_{2}\rvert.
Mas \lvert -\,z_{2}\rvert = \lvert z_{2}\rvert, logo
\lvert z_{1}\rvert \le \lvert z_{1}+z_{2}\rvert + \lvert z_{2}\rvert.

Passo 3

Bastou isolar \lvert z_{1}+z_{2}\rvert. Subtraindo \lvert z_{2}\rvert de ambos os lados, temos
\lvert z_{1}\rvert - \lvert z_{2}\rvert \le \lvert z_{1}+z_{2}\rvert,
que é exatamente
\lvert z_{1}+z_{2}\rvert \ge \lvert z_{1}\rvert - \lvert z_{2}\rvert.

Resposta

A desigualdade está provada.

Exercícios relacionados