Prove que o conjugado de uma soma e um produto de dois números complexos é a soma e produto dos conjugados deles respectivamente. (ou seja: \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}} e \overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades do conjugado de números complexos: a linearidade em soma e a multiplicatividade em produto. O conteúdo aqui é a definição de conjugado e a manipulação algébrica de números complexos z=a+bi.

Passo 2

Sejam dois números complexos
z_{1}=a+bi, \quad z_{2}=c+di,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Por definição,
\overline{z_{1}}=a - bi \quad\text{e}\quad \overline{z_{2}}=c - di.

Passo 3

Vamos primeiro mostrar que
\overline{z_{1}+z_{2}} =\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}.
Calculamos
z_{1}+z_{2}=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)\,i.
Pelo que a definição de conjugado dá
\overline{\,z_{1}+z_{2}\,} =(a+c)-(b+d)\,i =(a - bi)+(c - di) =\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}.

Passo 4

Agora provamos que
\overline{z_{1}\,z_{2}} =\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}.
Primeiro calculemos o produto:
z_{1}z_{2} =(a+bi)(c+di) =ac + adi + bci + bdi^{2} =(ac - bd)+(ad+bc)\,i.
Seu conjugado é
\overline{\,z_{1}z_{2}\,} =(ac - bd)-(ad+bc)\,i.
Por outro lado,
\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}} =(a - bi)(c - di) =ac - adi - bci + bdi^{2} =(ac - bd)-(ad+bc)\,i.
Vemos que os dois resultados coincidem, Logo
\overline{z_{1}z_{2}} =\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}.

Resposta

As duas propriedades estão provadas:
\overline{z_{1}+z_{2}} =\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}}, \quad \overline{z_{1}z_{2}} =\overline{z_{1}}\;\overline{z_{2}}.

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