Empregando o produto misto encontre as equações paraméricas do plano \pi que passa pelo ponto A=(1,-1,2) é paralelo aos vetores \vec{u}=(2,-3,2) e \vec{v}=(3,1,0).

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas do plano \pi que passa por A=(1,-1,2) e é paralelo aos vetores \vec u=(2,-3,2) e \vec v=(3,1,0). O conteúdo é representação vetorial de planos; vamos usar o produto misto para obter primeiro a equação implícita e depois extrair a forma paramétrica.

Passo 2

Um ponto X=(x,y,z) pertence ao plano se e somente se os vetores X-A, \vec u e \vec v são coplanares. Logo a condição é
[X-A,\;\vec u,\;\vec v]=0,
onde [\cdot,\cdot,\cdot] denota o produto misto.

Passo 3

Escrevendo isso como determinante:
\det\begin{pmatrix} x-1 & y+1 & z-2\\\\ 2 & -3 & 2\\\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}=0.
Para simplificar, basta notar que o vetor normal ao plano é o produto vetorial
\vec n=\vec u\times\vec v=\begin{pmatrix}-2\\\ 6\\\ 11\end{pmatrix},
e então a equação implícita é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-(1,-1,2)\bigr)=0.

Passo 4

A forma paramétrica de um plano que passa por A e é gerado pelos vetores diretores \vec u e \vec v é
(x,y,z)=(1,-1,2)+s\,(2,-3,2)+t\,(3,1,0), \quad s,t\in\mathbb R.

Resposta

\begin{cases} x=1+2s+3t,\\\ y=-1-3s+t,\\\ z=2+2s, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb R.

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