Obter a equação geral do plano \pi que passa pelos pontos não colineares A=(2,2,-1), B=(2,3,1) e C=(1,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano \pi que passa pelos pontos não colineares
A=(2,2,-1),\quad B=(2,3,1),\quad C=(1,-2,1).
O conteúdo envolvido é geometria analítica: para obter a equação de um plano usamos um vetor normal \mathbf{n} e a fórmula
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.

Passo 2

Primeiro encontramos dois vetores diretores do plano, por exemplo
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-2,\;3-2,\;1-(-1)) = (0,1,2),
\overrightarrow{AC} = C - A = (1-2,\;-2-2,\;1-(-1)) = (-1,-4,2).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & 2 \\\\ -1 & -4 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2 - 2 \cdot (-4),\; -\bigl(0 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)\bigr),\; 0 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1)) = (10,-2,1).

Passo 4

Com \mathbf{n}=(10,-2,1) e o ponto A=(2,2,-1), a equação do plano é
10\,(x-2)\;-\;2\,(y-2)\;+\;1\,(z+1)\;=\;0.
Expandindo,
10x-20 -2y+4 +z+1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 10x - 2y + z - 15 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
10x - 2y + z - 15 = 0.

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