Encontre a equação vetorial e as equações paraméricas do plano \pi em cada caso.
Passa pelo ponto A=(1,-1,0) é paralelo aos vetores \vec{u}=(1,-3,2) e \vec{v}=(0,1,4).

Passo 1

O enunciado dá um plano \pi que passa por A=(1,-1,0) e é paralelo aos vetores \vec u=(1,-3,2) e \vec v=(0,1,4). Para achar a equação vetorial, usamos a ideia de que qualquer ponto P do plano tem vetor posição \vec r obtido somando ao vetor posição de A combinações lineares de \vec u e \vec v.

Passo 2

Denotando \vec a=(1,-1,0), \vec r=(x,y,z), \vec u=(1,-3,2) e \vec v=(0,1,4), a equação vetorial do plano é
\vec r = \vec a + s\,\vec u + t\,\vec v,\quad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para obter as equações paramétricas, escrevemos cada componente de \vec r:
\begin{cases} x = 1 + s,\\\ y = -1 - 3s + t,\\\ z = 0 + 2s + 4t. \end{cases}

Resposta

\vec{r} = (1,-1,0) + s\,(1,-3,2) + t\,(0,1,4),\;s,t\in\mathbb{R}.
x = 1 + s,
y = -1 - 3s + t,
z = 2s + 4t.

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