Obter a equação geral do plano p que contém o ponto \mathrm{A}=(1,2,-2) e que tem \vec{n}=(3,2,0) como vetor normal. Obter um ponto de \pi diferente de A.

Passo 1

O enunciado pede a equação geral de um plano em \mathbb{R}^3 que passa pelo ponto A=(1,2,-2) e tem vetor normal \vec{n}=(3,2,0). O conteúdo é a equação cartesiana de plano, para a qual usaremos a forma
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0,
além de encontrar um ponto distinto de A que satisfaça essa equação.

Passo 2

Em geometria analítica, se um plano tem vetor normal (a,b,c) e passa por (x_0,y_0,z_0), então sua equação é
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0.

Passo 3

Substituindo (a,b,c)=(3,2,0) e (x_0,y_0,z_0)=(1,2,-2) na forma geral, obtemos
3(x - 1) + 2(y - 2) + 0\,(z + 2) = 0.
Simplificando,
3x - 3 + 2y - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 3x + 2y - 7 = 0.

Passo 4

Para achar um ponto de p diferente de A, note que a equação
3x + 2y - 7 = 0
não envolve z. Escolhendo, por exemplo, z=0 e \,x=1, temos
3\cdot1 + 2y - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2y = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Logo, B = (1,2,0) pertence a p e é distinto de A.

Resposta

Equação geral do plano:
3x + 2y - 7 = 0.
Um ponto de p diferente de A é B = (1,2,0).

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