Empregando a transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais usando a transformada de Laplace. Temos
com
Para isso, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação, usar as condições iniciais e depois inverter a transformada.
Passo 2
Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados, denotando
, obtemos
Como
substituímos
e
:
Passo 3
Reagrupando os termos em
, temos
Passo 4
Para inverter a transformada, fazemos frações parciais em
Procuramos constantes
e
tais que
Isso leva ao sistema
cuja solução é
e
. Logo
Passo 5
Aplicando a transformada de Laplace inversa em cada termo:
Portanto,