Empregando a transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}-16 y=0, \quad y(0)=-2, \quad y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais usando a transformada de Laplace. Temos
y''(t) - 16\,y(t) = 0,
com
y(0) = -2, \quad y'(0) = 0.
Para isso, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação, usar as condições iniciais e depois inverter a transformada.

Passo 2

Tomando a transformada de Laplace de ambos os lados, denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, obtemos
\mathcal{L}\{y''(t)\} - 16\,\mathcal{L}\{y(t)\} = 0.
Como
\mathcal{L}\{y''(t)\} = s^2\,Y(s) - s\,y(0) - y'(0),
substituímos y(0)=-2 e y'(0)=0:
s^2\,Y(s) - s(-2) - 0 \;-\; 16\,Y(s) \;=\; 0.

Passo 3

Reagrupando os termos em Y(s), temos
\bigl(s^2 - 16\bigr)\,Y(s) + 2s = 0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = -\,\frac{2s}{s^2 - 16}.

Passo 4

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais em
Y(s) = -\frac{2s}{s^2-16} = -\frac{2s}{(s-4)(s+4)}.
Procuramos constantes A e B tais que
-\frac{2s}{(s-4)(s+4)} = \frac{A}{s-4} + \frac{B}{s+4}.
Isso leva ao sistema
A + B = -2, \quad 4A - 4B = 0
cuja solução é A = -1 e B = -1. Logo
Y(s) = -\frac{1}{s-4} \;-\;\frac{1}{s+4}.

Passo 5

Aplicando a transformada de Laplace inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-4}\Bigr\} = e^{4t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+4}\Bigr\} = e^{-4t}.
Portanto,
y(t) = -\,e^{4t} \;-\; e^{-4t} = -2\operatorname{cosh}(4t).

Resposta

y(t) = -\,e^{4t} - e^{-4t}.

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