Empregando a transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-4.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y''+2y'+5y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=-4.
O que vamos precisar é da definição
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0),\quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além da transformada de y própria, \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
\mathcal{L}\{y''\}+2\mathcal{L}\{y'\}+5\mathcal{L}\{y\}=0.
Substituindo as fórmulas:
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot2-(-4)\bigr) +2\bigl(sY(s)-2\bigr) +5Y(s)=0.

Passo 3

Simplificando a equação algébrica em Y(s):
s^2Y(s)-2s+4+2sY(s)-4+5Y(s)=0 \;\Longrightarrow\; (s^2+2s+5)\,Y(s)-2s=0 \;\Longrightarrow\; Y(s)=\frac{2s}{s^2+2s+5}.

Passo 4

Para inverter \displaystyle Y(s)=\frac{2s}{s^2+2s+5}, completamos o quadrado no denominador:
s^2+2s+5=(s+1)^2+4.
Então
Y(s) =\frac{2(s+1)-2}{(s+1)^2+2^2} =2\;\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2} \;-\; 2\;\frac{1}{(s+1)^2+2^2}.

Passo 5

Usando as transformadas inversas conhecidas,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{s+1}{(s+1)^2+2^2}\Bigr\}=e^{-t}\cos(2t), \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{2}{(s+1)^2+2^2}\Bigr\}=e^{-t}\sin(2t),
temos
y(t) =2\,e^{-t}\cos(2t)-\,e^{-t}\sin(2t).

Resposta

y(t)=e^{-t}\bigl(2\cos(2t)-\sin(2t)\bigr).

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