Empregando a transformada de Laplace resolva os seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via transformada de Laplace, a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = 0,
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=3.
Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados de
y'' + y' - 2y = 0
obtemos
\bigl[s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr]+\bigl[sY(s)-y(0)\bigr]-2Y(s)=0.
Substituindo y(0)=0 e y'(0)=3, fica
\bigl[s^2Y(s)-3\bigr]+sY(s)-2Y(s)=0 \;\;\Longrightarrow\;\; \bigl(s^2+s-2\bigr)Y(s)=3.

Passo 3

Isolando Y(s),
Y(s)=\frac{3}{s^2+s-2}.
Fatoramos o denominador:
s^2+s-2=(s-1)(s+2),
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Y(s)=\frac{3}{(s-1)(s+2)}.

Passo 4

Fazendo decomposição em frações parciais, escrevemos
\frac{3}{(s-1)(s+2)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando por (s-1)(s+2)
3=A(s+2)+B(s-1).
Para s=1 vem 3=3A\Rightarrow A=1.
Para s=-2 vem 3=-3B\Rightarrow B=-1.
Assim
Y(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s+2}.

Passo 5

Usando a tabela inversa \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}, obtemos
y(t) =\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} =\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s-1}\Bigr\} -\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s+2}\Bigr\} =e^{t}-e^{-2t}.

Resposta

y(t)=e^{t}-e^{-2t}.

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