Com o emprego dos seguintes dados de pressão sanguínea diastólica de 35 enfermeiros que trabalham em um hospital:
81 89 91 81 79 82 96
70 80 92 64 73 86 80
87 74 72 75 90 96 82
83 79 82 82 78 85 86
77 83 85 87 88 80 85
Pede-se:
h) Calcule a variância com dados agrupados

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de dados com a pressão arterial diastólica de 35 enfermeiros em um hospital. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a variância usando dados agrupados. Para isso, vamos precisar entender como agrupar os dados em classes e aplicar a fórmula da variância para dados agrupados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses 35 valores de pressão arterial diastólica em ordem crescente. Isso vai nos ajudar a definir intervalos (ou classes) apropriados para agrupar os dados.
Dados em ordem crescente:
64, 70, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 80, 81, 81, 82, 82, 82, 83, 83, 85, 85, 85, 86, 86, 87, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 96, 96

Passo 3

Agora, vamos determinar o número de classes que vamos usar para agrupar os dados. Uma regra empírica simples é usar a raiz quadrada do número total de observações. Aqui, temos 35 dados, então:
Número de classes ≈ √35 ≈ 6
Então, vamos criar 6 classes.

Passo 4

Vamos identificar o intervalo de classes. O menor valor é 64 e o maior é 96. A amplitude total dos dados é:
Amplitude = 96 - 64 = 32
Agora, para encontrar a amplitude de cada classe:
Amplitude de cada classe = Amplitude total / Número de classes = 32 / 6 ≈ 5,33
Podemos arredondar para 6 para facilitar.

Passo 5

Com a amplitude de cada classe sendo 6, vamos definir as classes:
  1. 64 - 69
  2. 70 - 75
  3. 76 - 81
  4. 82 - 87
  5. 88 - 93
  6. 94 - 99

Passo 6

Agora, vamos contar quantas observações estão em cada classe. Isso nos dará a frequência de cada classe.
  1. 64 - 69: 64, 70 → Frequência = 1
  2. 70 - 75: 70, 72, 73, 74, 75 → Frequência = 5
  3. 76 - 81: 77, 78, 79, 79, 80, 80, 80, 81, 81 → Frequência = 9
  4. 82 - 87: 82, 82, 82, 83, 83, 85, 85, 85, 86, 86, 87, 87 → Frequência = 12
  5. 88 - 93: 88, 89, 90, 91, 92 → Frequência = 5
  6. 94 - 99: 96, 96 → Frequência = 2

Passo 7

Com as classes e frequências definidas, vamos calcular o ponto médio (marca de classe) de cada intervalo:
  1. 64 - 69: (64 + 69) / 2 = 66.5
  2. 70 - 75: (70 + 75) / 2 = 72.5
  3. 76 - 81: (76 + 81) / 2 = 78.5
  4. 82 - 87: (82 + 87) / 2 = 84.5
  5. 88 - 93: (88 + 93) / 2 = 90.5
  6. 94 - 99: (94 + 99) / 2 = 96.5

Passo 8

Agora, vamos montar uma tabela com as classes, frequências e pontos médios:
Classe Frequência (f) Ponto Médio (x)
64-69 1 66.5
70-75 5 72.5
76-81 9 78.5
82-87 12 84.5
88-93 5 90.5
94-99 2 96.5
Total 35

Passo 9

Para calcular a variância para dados agrupados, usamos a seguinte fórmula:
sigma^2 = sum f(x - barx)^2N
Onde:
  • $ f $ é a frequência de cada classe,
  • $ x $ é o ponto médio de cada classe,
  • $ \bar{x} $ é a média dos dados,
  • $ N $ é o número total de observações.
Primeiro, precisamos calcular a média ($ \bar{x} $).

Passo 10

Vamos calcular a média ($ \bar{x} $) usando a fórmula para dados agrupados:
barx
Calculando $ f \cdot x $ para cada classe:
  1. 64-69: $ 1 \times 66.5 = 66.5 $
  2. 70-75: $ 5 \times 72.5 = 362.5 $
  3. 76-81: $ 9 \times 78.5 = 706.5 $
  4. 82-87: $ 12 \times 84.5 = 1,014 $
  5. 88-93: $ 5 \times 90.5 = 452.5 $
  6. 94-99: $ 2 \times 96.5 = 193 $
Somando tudo:
$ 66.5 + 362.5 + 706.5 + 1,014 + 452.5 + 193 = 2,794 $
Agora, dividimos pela quantidade total de observações (35):
barx = sum f cdot xN

Passo 11

Agora que temos a média, vamos calcular $ (x - \bar{x})^2 $ para cada classe:
  1. 66.5: $ (66.5 - 79.83)^2 = (-13.33)^2 \approx 177.78 $
  2. 72.5: $ (72.5 - 79.83)^2 = (-7.33)^2 \approx 53.74 $
  3. 78.5: $ (78.5 - 79.83)^2 = (-1.33)^2 \approx 1.77 $
  4. 84.5: $ (84.5 - 79.83)^2 = 4.67^2 \approx 21.78 $
  5. 90.5: $ (90.5 - 79.83)^2 = 10.67^2 \approx 113.78 $
  6. 96.5: $ (96.5 - 79.83)^2 = 16.67^2 \approx 277.78 $

Passo 12

Agora, multiplicamos cada $ (x - \bar{x})^2 $ pela frequência da classe:
  1. 66.5: $ 1 \times 177.78 = 177.78 $
  2. 72.5: $ 5 \times 53.74 = 268.7 $
  3. 78.5: $ 9 \times 1.77 = 15.93 $
  4. 84.5: $ 12 \times 21.78 = 261.36 $
  5. 90.5: $ 5 \times 113.78 = 568.9 $
  6. 96.5: $ 2 \times 277.78 = 555.56 $
Somando todos esses valores:
$ 177.78 + 268.7 + 15.93 + 261.36 + 568.9 + 555.56 = 1,847.33 $

Passo 13

Finalmente, aplicamos a fórmula da variância:
sigma^2 = 1,847.3335 approx 52.78

Resposta

A variância dos dados agrupados de pressão arterial diastólica dos enfermeiros é aproximadamente 52.78.

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