Empregue a definição de limite de funções para mostrar que existem os limites:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, pela definição de limite, existe
Ou seja, queremos provar que é possível encontrar um valor
tal que
Passo 2
Clarificamos a função e o valor candidato ao limite. Definimos
e notamos que, se o limite existir, deve ser
. Então nosso objetivo é mostrar que
Passo 3
Calculemos a diferença em módulo:
Para controlar o fator
, restringimos
. Assim, se
, então
e
Passo 4
Com isso, sempre que
, teremos
Para garantir
, basta exigir
, isto é,
Portanto, escolhendo
segue que
implica
, o que prova a existência do limite.