Empregue a definição de limite de funções para mostrar que existem os limites:
\lim _{x \rightarrow 8}\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, pela definição de limite, existe
\lim_{x\to 8}(x^2+1).
Ou seja, queremos provar que é possível encontrar um valor L tal que
\forall \varepsilon>0\,\exists \delta>0:\;0<|x-8|<\delta\implies |(x^2+1)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Clarificamos a função e o valor candidato ao limite. Definimos
f(x)=x^2+1
e notamos que, se o limite existir, deve ser L=f(8)=8^2+1=65. Então nosso objetivo é mostrar que
\forall \varepsilon>0\,\exists \delta>0:\;0<|x-8|<\delta\implies |f(x)-65|<\varepsilon.

Passo 3

Calculemos a diferença em módulo:
|f(x)-65| = |(x^2+1)-65| = |x^2-64| = |x-8|\,|x+8|.
Para controlar o fator |x+8|, restringimos \delta\le1. Assim, se 0<|x-8|<1, então
7 < x < 9
e
|x+8| < 17.

Passo 4

Com isso, sempre que 0<|x-8|<\delta\le1, teremos
|f(x)-65| = |x-8|\,|x+8| < 17\,|x-8|.
Para garantir |f(x)-65|<\varepsilon, basta exigir 17\,|x-8|<\varepsilon, isto é,
|x-8|<\frac{\varepsilon}{17}.
Portanto, escolhendo
\delta = \min\Bigl(1,\frac{\varepsilon}{17}\Bigr),
segue que 0<|x-8|<\delta implica |f(x)-65|<\varepsilon, o que prova a existência do limite.

Resposta

\lim_{x\to 8}(x^2+1) = 65.

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