Empregue a definição de limite de funções para mostrar que existem os limites:
\lim _{x \rightarrow 7} \frac{8}{x-3}

Passo 1

O enunciado nos pede para provar, via definição \varepsilon- \delta, que existe
\lim_{x\to7}\frac{8}{x-3}
e determinar o seu valor. O conteúdo é limite de função em um ponto, usando a condição: para todo \varepsilon>0 deve existir \delta>0 tal que, se 0<|x-7|<\delta, então \bigl|\tfrac{8}{x-3}-L\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Antes de aplicar a definição, encontramos o valor candidato L do limite, supondo x suficientemente próximo de 7. Como a função \tfrac{8}{x-3} é contínua em x=7, temos
L = \frac{8}{7-3} = \frac{8}{4} = 2.

Passo 3

Para usar a definição, analisamos a diferença
\Bigl|\frac{8}{x-3}-2\Bigr| =\Bigl|\frac{8 - 2(x-3)}{x-3}\Bigr| =\Bigl|\frac{8 -2x +6}{x-3}\Bigr| =\Bigl|\frac{-2(x-7)}{x-3}\Bigr| =2\,\frac{|x-7|}{|x-3|}.

Passo 4

Precisamos garantir que \tfrac{|x-7|}{|x-3|} seja controlável por |x-7|. Se exigirmos além de 0<|x-7|<\delta também que \delta\le1, então
|x-7|<1 \quad\Longrightarrow\quad 6 < x < 8 \quad\Longrightarrow\quad 3 < x-3 < 5 \quad\Longrightarrow\quad |x-3|>3.
Logo, sob 0<|x-7|<\min\{1,\delta\}, temos
\Bigl|\frac{8}{x-3}-2\Bigr| =2\,\frac{|x-7|}{|x-3|} <2\,\frac{|x-7|}{3} =\frac{2}{3}\,|x-7|.
Para tornar isso menor que \varepsilon, basta exigir
\frac{2}{3}\,|x-7|<\varepsilon \quad\Longleftarrow\quad |x-7|<\frac{3\varepsilon}{2}.
Assim, escolhemos
\delta = \min\Bigl\{1,\;\frac{3\varepsilon}{2}\Bigr\}.
Então, sempre que 0<|x-7|<\delta, garantimos \bigl|\tfrac{8}{x-3}-2\bigr|<\varepsilon.

Passo 5

Concluímos que, segundo a definição \varepsilon- \delta,
\lim_{x\to7}\frac{8}{x-3}=2.

Resposta

\lim_{x\rightarrow 7}\frac{8}{x-3}=2.

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