O que é fator de empacotamento em uma célula unitária? Qual é o fator de empacotamento para as células cúbicas para metais (CS, CCC, CFC).

Passo 1

O enunciado pede para definir o fator de empacotamento em uma célula unitária e calcular esse fator para estruturas cúbicas simples (CS), cúbica de corpo centrado (CCC) e cúbica de faces centradas (CFC). Esse tópico faz parte de ciência dos materiais e cristalografia, e vamos precisar usar a geometria da célula unitária tratando átomos como esferas de raio r.

Passo 2

Definimos o fator de empacotamento (PF, do inglês “packing fraction”) como a razão entre o volume total efetivamente ocupado pelos átomos dentro da célula unitária e o volume da célula unitária. Em fórmula,
\mathrm{PF}=\frac{N\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{a^3}
onde N é o número de átomos “inteiros” na célula e a é a aresta da célula cúbica.

Passo 3

Para a cubica simples (CS) temos um átomo por célula N=1, pois são oito cantos com fração 1/8 cada, e a relação geométrica é a=2r. Logo,
\mathrm{PF}_{\rm CS} =\frac{1\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{(2r)^3} =\frac{\frac{4}{3}\pi r^3}{8r^3} =\frac{\pi}{6} \approx0,52.

Passo 4

Para a cúbica de corpo centrado (CCC) há N=2 átomos na célula (um no centro + soma das frações dos cantos). A relação vem da diagonal do corpo: 4r=\sqrt{3}\,a, ou seja a=4r/\sqrt{3}. Então
\mathrm{PF}_{\rm CCC} =\frac{2\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\bigl(\tfrac{4r}{\sqrt{3}}\bigr)^3} =\frac{\frac{8}{3}\pi r^3}{\frac{64}{3\sqrt{3}}\,r^3} =\frac{\pi\sqrt{3}}{8} \approx0,68.

Passo 5

Para a cúbica de faces centradas (CFC) temos N=4 átomos por célula (seis faces com fração 1/2 + cantos). A relação é pela diagonal da face: 4r=\sqrt{2}\,a, logo a=4r/\sqrt{2}. Calculamos
\mathrm{PF}_{\rm CFC} =\frac{4\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\bigl(\tfrac{4r}{\sqrt{2}}\bigr)^3} =\frac{\frac{16}{3}\pi r^3}{\frac{32}{3\sqrt{2}}\,r^3} =\frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx0,74.

Resposta

PF _{\rm CS} = \displaystyle \frac{\pi}{6}\approx0,52
PF _{\rm CCC} = \displaystyle \frac{\pi\sqrt{3}}{8}\approx0,68
PF _{\rm CFC} = \displaystyle \frac{\pi\sqrt{2}}{6}\approx0,74

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