Mostre que uma equação de Riccati com coeficientes constantes
tem uma solução da forma
se, e somente se,
é uma raiz da equação
.
Passo 1
O enunciado trata da equação de Riccati de primeira ordem com coeficientes constantes,
e pede para mostrar que existe uma solução constante
se, e somente se,
for raiz da equação algébrica
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (Riccati) e busca de soluções particulares constantes.
Passo 2
Suponha que
seja solução constante. Então necessariamente
Substituindo em
vem
logo
satisfaz
.
Passo 3
Agora suponha que
seja raiz de
Definindo
constante, tem-se
e
ou seja,
satisfaz a equação de Riccati.
Resposta
A equação de Riccati
admite solução constante
se, e somente se,
for raiz de