Mostre que uma equação de Riccati com coeficientes constantes y^prime+a y^2+ b y+c=0 tem uma solução da forma y=m se, e somente se, m é uma raiz da equação a m^2+b m+c=0.

Passo 1

O enunciado trata da equação de Riccati de primeira ordem com coeficientes constantes,
y' + a,y^2 + b,y + c = 0,
e pede para mostrar que existe uma solução constante y=m se, e somente se, m for raiz da equação algébrica
a,m^2 + b,m + c = 0
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias (Riccati) e busca de soluções particulares constantes.

Passo 2

Suponha que y(x)=m seja solução constante. Então necessariamente
y'(x)=0
Substituindo em
y' + a,y^2 + b,y + c = 0
vem
0 + a,m^2 + b,m + c = 0,
logo m satisfaz a,m^2 + b,m + c=0.

Passo 3

Agora suponha que m seja raiz de
a,m^2 + b,m + c = 0
Definindo y(x)=m constante, tem-se y'(x)=0 e
y' + a,y^2 + b,y + c = 0 + a,m^2 + b,m + c = 0,
ou seja, y(x)=m satisfaz a equação de Riccati.

Resposta

A equação de Riccati
y' + a,y^2 + b,y + c = 0
admite solução constante y=m se, e somente se, m for raiz de
a,m^2 + b,m + c = 0

Exercícios relacionados