Um objeto se move ao longo da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1) sob a ação do campo F=(2 x, 3 y). Calcule o trabalho realizado pelo campo sobre o objeto.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo F=(2x,3y) num objeto que se desloca ao longo da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1). O conteúdo aqui é cálculo de integral de linha para trabalho, usando parametrização da curva, produto escalar e integração.

Passo 2

Parametrizamos a curva por
r(t) = (t,,t^2), 0 <= t <= 1
O diferencial de deslocamento é
r'(t) = (1,,2t),
logo dr = r'(t),dt.

Passo 3

Substituímos a parametrização no campo para obter
F(r(t)) = l(2t,,3t^2r)

Passo 4

O produto escalar é
F(r(t))cdot r'(t) =2tcdot1 + 3t^2cdot2t =2t + 6t^3

Passo 5

O trabalho é a integral de t de 0 a 1 de 2t+6t^3:
W = integral0^1 l(2t + 6t^3r),dt = integral0^1 2t,dt ;+; 6integral0^1 t^3,dt = l[t^2r]0^1 + 6cdot14 =1 + 64 = 52

Resposta

52

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