Um empreiteiro está avaliando o investimento em um novo sistema de escoramento para estruturas, que custa \mathrm{R} 1.000,00 por projeto. A análise de risco sugere os seguintes cenários de economia de custo gerada por esse sistema:
Economia (R $) Probabilidade
0,00 0,70
1.000,00 0,20
5.000,00 0,08
10.000,00 0,02
Considere que o valor do investimento ( \mathrm{R} 1.000,00 ) não é recuperado diretamente, mas a economia representa o valor bruto gerado. Com base nessas informações, responda:
(a) Defina a variável aleatória X que representa o lucro líquido do empreiteiro após a utilização do sistema em um projeto (isto é, a economia gerada menos o custo do investimento). Construa a distribuição de probabilidade de X.
(b) Calcule o valor esperado E(X). Interprete esse valor no contexto do investimento no sistema de escoramento.
(c) Suponha que o empreiteiro utilize esse sistema em 1000 projetos semelhantes. Qual é o lucro médio esperado do empreiteiro com o uso desse sistema?

Passo 1

O enunciado descreve um investimento de \mathrm{R}\$\,1.000,00 por projeto para adoção de um sistema que gera, a título de economia (bruta), valores variáveis segundo a tabela. Vamos estudar uma variável aleatória discreta X que represente o lucro líquido (economia menos o custo de \mathrm{R}\$\,1.000), montar sua distribuição de probabilidade e calcular o valor esperado. Em seguida, aplicaremos o resultado a 1\,000 projetos, usando a linearidade do valor esperado.

Passo 2

Definimos
X = \text{economia gerada} - 1000.
Como a economia assume valores \;0 com probabilidade 0,70, \;1000 com probabilidade 0,20, \;5000 com probabilidade 0,08, \;10000 com probabilidade 0,02,
os possíveis valores de X e suas probabilidades são
P(X=-1000) = 0{,}70,\quad P(X=0) = 0{,}20,\quad P(X=4000) = 0{,}08,\quad P(X=9000) = 0{,}02.

Passo 3

Para calcular o valor esperado de X, usamos
E(X) = (-1000)\cdot 0{,}70 + 0\cdot 0{,}20 + 4000\cdot 0{,}08 + 9000\cdot 0{,}02 = -700 + 0 + 320 + 180 = -200.
Isto quer dizer que, em média, o empreiteiro perde \mathrm{R}\$\,200,00 por projeto ao usar esse sistema.

Passo 4

Se o sistema for usado em 1000 projetos independentes e semelhantes, a expectativa do lucro total é
E\bigl(\text{soma dos }1000\text{ }X_i\bigr) = 1000 \times E(X) = 1000 \times (-200) = -200\,000.
Ou seja, espera-se um prejuízo total de \mathrm{R}\$\,200.000,00.

Resposta

(a) A variável X assume
X = -1000,\;0,\;4000,\;9000
com
P(X=-1000)=0{,}70,\; P(X=0)=0{,}20,\; P(X=4000)=0{,}08,\; P(X=9000)=0{,}02.
(b)
E(X) = -200.
Interpretação: em média, perde-se \mathrm{R}\$\,200,00 por projeto.
(c)
\text{Lucro total esperado em 1000 projetos} = 1000 \times E(X) = -200\,000.
Portanto, espera-se um prejuízo de \mathrm{R}\$\,200.000,00.

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