Um empreiteiro está avaliando o investimento em um novo sistema de escoramento para estruturas, que custa
1.000,00 por projeto. A análise de risco sugere os seguintes cenários de economia de custo gerada por esse sistema:
Economia (R $)
Probabilidade
0,00
0,70
0,20
0,08
0,02
Considere que o valor do investimento (
1.000,00 ) não é recuperado diretamente, mas a economia representa o valor bruto gerado. Com base nessas informações, responda:
(a) Defina a variável aleatória
que representa o lucro líquido do empreiteiro após a utilização do sistema em um projeto (isto é, a economia gerada menos o custo do investimento). Construa a distribuição de probabilidade de
.
(b) Calcule o valor esperado
. Interprete esse valor no contexto do investimento no sistema de escoramento.
(c) Suponha que o empreiteiro utilize esse sistema em 1000 projetos semelhantes. Qual é o lucro médio esperado do empreiteiro com o uso desse sistema?
Economia (R $) | Probabilidade |
0,00 | 0,70 |
|
0,20 |
|
0,08 |
|
0,02 |
(a) Defina a variável aleatória
(b) Calcule o valor esperado
(c) Suponha que o empreiteiro utilize esse sistema em 1000 projetos semelhantes. Qual é o lucro médio esperado do empreiteiro com o uso desse sistema?
Passo 1
O enunciado descreve um investimento de
por projeto para adoção de um sistema que gera, a título de economia (bruta), valores variáveis segundo a tabela. Vamos estudar uma variável aleatória discreta
que represente o lucro líquido (economia menos o custo de
), montar sua distribuição de probabilidade e calcular o valor esperado. Em seguida, aplicaremos o resultado a
projetos, usando a linearidade do valor esperado.
Passo 2
Definimos
Como a economia assume valores
com probabilidade
,
com probabilidade
,
com probabilidade
,
com probabilidade
,
os possíveis valores de e suas probabilidades são
os possíveis valores de
Passo 3
Para calcular o valor esperado de
, usamos
Isto quer dizer que, em média, o empreiteiro perde
por projeto ao usar esse sistema.
Passo 4
Se o sistema for usado em
projetos independentes e semelhantes, a expectativa do lucro total é
Ou seja, espera-se um prejuízo total de
.
Resposta
(a) A variável
assume
com
(b)
Interpretação: em média, perde-se
por projeto.
(c)
Portanto, espera-se um prejuízo de
.