Questão 3 Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função diferenciável tal que
\frac{\partial f}{\partial x}(8,4)=1 \quad \text { e } \quad \frac{\partial f}{\partial y}(8,4)=2
Considere a função z(t)=f\left(t^{3}, t^{2}\right). Calcule z^{\prime}(2).

Passo 1

O enunciado fornece uma função f\colon \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R} diferenciável com
\frac{\partial f}{\partial x}(8,4)=1 \quad\text{e}\quad \frac{\partial f}{\partial y}(8,4)=2.
Define-se z(t)=f(t^{3},t^{2}) e pede-se z'(2). O conteúdo necessário é a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
x(t)=t^{3},\quad y(t)=t^{2},
de modo que z(t)=f\bigl(x(t),y(t)\bigr). Pela regra da cadeia,
z'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,x'(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,y'(t).

Passo 3

Calculamos as derivadas de x e y:
x'(t)=3t^{2}, \qquad y'(t)=2t.

Passo 4

Em t=2 temos x(2)=8 e y(2)=4. Substituindo os valores conhecidos,
z'(2) =\frac{\partial f}{\partial x}(8,4)\cdot3\cdot2^{2} +\frac{\partial f}{\partial y}(8,4)\cdot2\cdot2 =1\cdot3\cdot4+2\cdot2\cdot2 =12+8 =20.

Resposta

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