Um jogo funciona da seguinte maneira: o jogador pagaR $ 1,00 por rodada e gira uma roleta com as seguintes possibilidades de prêmios:
Prêmio (R $)
Probabilidade
0,00
0,70
1,00
0,20
5,00
0,08
10,00
0,02
Considere que o valor apostado não é devolvido, mesmo em caso de prêmio. Ou seja, o prêmio representa o valor bruto recebido. Com base nessas informações, responda:
(a) Defina a variável aleatória
que representa o saldo líquido de um jogador após uma rodada (isto é, o prêmio recebido menos o valor da aposta). Construa a distribuição de probabilidade de
.
(b) Calcule o valor esperado
. Interprete esse valor no contexto do jogo.
(c) Suponha que 1000 pessoas joguem esse jogo exatamente uma vez. Qual é o lucro médio esperado do operador do jogo?
Prêmio (R $) | Probabilidade |
0,00 | 0,70 |
1,00 | 0,20 |
5,00 | 0,08 |
10,00 | 0,02 |
(a) Defina a variável aleatória
(b) Calcule o valor esperado
(c) Suponha que 1000 pessoas joguem esse jogo exatamente uma vez. Qual é o lucro médio esperado do operador do jogo?
Passo 1
O enunciado descreve um jogo em que o jogador paga
por rodada e recebe um “prêmio bruto” segundo a roleta com probabilidades dadas. Precisamos de probabilidade discreta e de valor esperado para analisar o saldo líquido por rodada e, depois, extrapolar para 1000 jogadores.
Passo 2
Definimos a variável aleatória
como o saldo líquido do jogador em uma rodada, isto é,
Como os prêmios possíveis são
,
,
e
com probabilidades
,
,
e
, temos:
com
Passo 3
Calculamos o valor esperado de
:
Fazendo as contas:
Passo 4
O valor
significa que, em média, o jogador perde
por rodada. Do ponto de vista do operador do jogo, essa perda do jogador é lucro para o operador, ou seja,
de ganho médio por rodada.
Passo 5
Se 1000 pessoas jogam uma vez cada, o lucro médio esperado do operador é
Resposta
(a)
assume valores e probabilidades:
(b)
. Em média, o jogador perde R$ 0,20 por rodada.
(c) O operador, em 1000 rodadas (um por jogador), espera lucrar R$ 200.
(c) O operador, em 1000 rodadas (um por jogador), espera lucrar R$ 200.