Um jogo funciona da seguinte maneira: o jogador pagaR $ 1,00 por rodada e gira uma roleta com as seguintes possibilidades de prêmios:
Prêmio (R $) Probabilidade
0,00 0,70
1,00 0,20
5,00 0,08
10,00 0,02
Considere que o valor apostado não é devolvido, mesmo em caso de prêmio. Ou seja, o prêmio representa o valor bruto recebido. Com base nessas informações, responda:
(a) Defina a variável aleatória X que representa o saldo líquido de um jogador após uma rodada (isto é, o prêmio recebido menos o valor da aposta). Construa a distribuição de probabilidade de X.
(b) Calcule o valor esperado E(X). Interprete esse valor no contexto do jogo.
(c) Suponha que 1000 pessoas joguem esse jogo exatamente uma vez. Qual é o lucro médio esperado do operador do jogo?

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que o jogador paga \,1,00 por rodada e recebe um “prêmio bruto” segundo a roleta com probabilidades dadas. Precisamos de probabilidade discreta e de valor esperado para analisar o saldo líquido por rodada e, depois, extrapolar para 1000 jogadores.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o saldo líquido do jogador em uma rodada, isto é,
X = (\text{prêmio recebido}) - 1.ê
Como os prêmios possíveis são 0,00, 1,00, 5,00 e 10,00 com probabilidades 0,70, 0,20, 0,08 e 0,02, temos:
X \in \{-1,\,0,\,4,\,9\}
com
P(X=-1)=0,70,\quad P(X=0)=0,20,\quad P(X=4)=0,08,\quad P(X=9)=0,02.

Passo 3

Calculamos o valor esperado de X:
E(X) = (-1)\cdot0,70 + 0\cdot0,20 + 4\cdot0,08 + 9\cdot0,02.
Fazendo as contas:
E(X) = -0,70 + 0 + 0,32 + 0,18 = -0,20.

Passo 4

O valor E(X)=-0,20 significa que, em média, o jogador perde \,0,20 por rodada. Do ponto de vista do operador do jogo, essa perda do jogador é lucro para o operador, ou seja, \,0,20 de ganho médio por rodada.

Passo 5

Se 1000 pessoas jogam uma vez cada, o lucro médio esperado do operador é
1000 \times 0,20 = 200.

Resposta

(a) X assume valores e probabilidades:
X=-1\text{ com }0,70,\quad X=0\text{ com }0,20,\quad X=4\text{ com }0,08,\quad X=9\text{ com }0,02.
(b) E(X)=-0,20. Em média, o jogador perde R$ 0,20 por rodada.
(c) O operador, em 1000 rodadas (um por jogador), espera lucrar R$ 200.

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