Em uma empresa, 18 funcionários são juniors (J) e 10 são seniors (S). Seis funcionários S são mulheres (F) e 12 J são homens (M). Um funcionário é escolhido ao acaso, calcule:
\mathrm{P}(\mathrm{J} ou F )

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a probabilidade \mathrm{P}(\mathrm{J}\\ \text{ou}\\ \mathrm{F}), ou seja a probabilidade de que o funcionário escolhido seja junor ( \mathrm{J}) ou mulher ( \mathrm{F}).
Informações fornecidas:
  • \,18 funcionários juniores ( \mathrm{J}).
  • \,10 funcionários seniors ( \mathrm{S}).
  • Entre os seniors, \,6 são mulheres ( \mathrm{F}).
  • Entre os juniores, \,12 são homens ( \mathrm{M}).
Total de funcionários no quadro: soma de juniores e seniors, isto é \,18+10.

Passo 2

Vamos traduzir isso para contagem e probabilidade por contagem (probabilidade clássica). Primeiro definimos o espaço amostral e as fórmulas que vamos usar.
  • Espaço amostral (número total de funcionários): N = 18 + 10.
  • Probabilidade de um evento A quando todos os indivíduos têm chance igual de serem escolhidos é \mathrm{P}(A)=\frac{\text{número de elementos favoráveis a }A}{N}.úá
  • Para a união de dois eventos J e F a fórmula geral é a inclusão-exclusão: \mathrm{P}(J\cup F)=\mathrm{P}(J)+\mathrm{P}(F)-\mathrm{P}(J\cap F).
Explicando rapidinho por que: ao somar \mathrm{P}(J) e \mathrm{P}(F) a interseção J\cap F ficou contada duas vezes, então subtrai-se uma vez.

Passo 3

Calcular números que faltam usando os dados dados.
  • Total de funcionários: N = 18 + 10 = 28.
  • Juniores homens: foi dado que há \,12 juniores homens, ou seja \#(\mathrm{J}\cap\mathrm{M})=\;12. Então juniores mulheres (interseção J\cap F) são: \#(\mathrm{J}\cap\mathrm{F})=\#(\mathrm{J})-\#(\mathrm{J}\cap\mathrm{M})=18-12=6.
  • Entre os seniors, foi dado \#(\mathrm{S}\cap\mathrm{F})=6. Portanto seniors homens são \#(\mathrm{S}\cap\mathrm{M})=10-6=4.
  • Total de mulheres no quadro é soma das mulheres juniores com as mulheres seniors: \#(\mathrm{F})=\#(\mathrm{J}\cap\mathrm{F})+\#(\mathrm{S}\cap\mathrm{F})=6+6=12.

Passo 4

Agora calculamos as probabilidades necessárias usando contagens sobre N.
  • \mathrm{P}(J)=\dfrac{\#(\mathrm{J})}{N}=\dfrac{18}{28}.
  • \mathrm{P}(F)=\dfrac{\#(\mathrm{F})}{N}=\dfrac{12}{28}.
  • \mathrm{P}(J\cap F)=\dfrac{\#(\mathrm{J}\cap\mathrm{F})}{N}=\dfrac{6}{28}.
Aplicando a fórmula da união: \mathrm{P}(J\cup F)=\mathrm{P}(J)+\mathrm{P}(F)-\mathrm{P}(J\cap F)=\frac{18}{28}+\frac{12}{28}-\frac{6}{28}=\frac{18+12-6}{28}=\frac{24}{28}.
Simplificando a fração \dfrac{24}{28} dividindo numerador e denominador por \,4: \frac{24}{28}=\frac{6}{7}.

Passo 5

Cheque rápido por método complementar (para reforçar a compreensão): o evento complementar de (J\\ \text{ou}\\ F) é (\text{nem }J\\ \text{nem }F), isto é ser senior e homem (\mathrm{S}\cap\mathrm{M}). Temos \#(\mathrm{S}\cap\mathrm{M})=4, então \mathrm{P}(\text{nem }J\\ \text{nem }F)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7},
logo \mathrm{P}(J\cup F)=1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}, que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{6}{7}

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