Uma empresa acredita que o tempo médio de atendimento ao cliente é de 15 minutos. Uma amostra de 45 atendimentos revelou média de 16 minutos, com desvio padrão populacional de 3 minutos. Teste a hipótese ao nível de 5 \%.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede para testar a hipótese ao nível de 5\%:
\begin{aligned} &\text{Hipótese da empresa: tempo médio } \mu_0 = 15\\ \text{minutos} \\\ &\text{Tamanho da amostra: } n = 45 \\\ &\text{Média amostral: } \bar{X} = 16\\ \text{minutos} \\\ &\text{Desvio padrão populacional (dado): } \sigma = 3\\ \text{minutos} \\\ &\text{Nível de significância: } \alpha = 0{,}05
Pergunta clara: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese de que o tempo médio é 15 minutos, ao nível de 0{,}05?

Passo 2

Formulamos as hipóteses estatísticas. Como a empresa afirma que o tempo médio é exatamente 15 minutos, o teste natural é bilateral (procuramos diferença para mais ou para menos):
H_0:\\ \mu = 15
H_1:\\ \mu \neq 15
Explicação curta: um teste bilateral verifica se a média é diferente de 15 (pode ser maior ou menor). Se você quisesse apenas verificar se é maior, faria um teste unilateral — mas aqui a afirmação é de igualdade, então usamos o bilateral.

Passo 3

Escolha do teste e estatística:
Como o desvio padrão populacional \sigma é conhecido ( 3 minutos) e a amostra é razoavelmente grande ( n=45), usamos o teste Z (teste para média com \sigma conhecido). A estatística de teste é
Z \;=\; \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Aqui:
  • \bar{X} é a média amostral ( 16);
  • \mu_0 é a média sob H_0 ( 15);
  • \sigma é o desvio padrão populacional ( 3);
  • n é o tamanho da amostra ( 45);
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (desvio padrão da distribuição da média amostral).
Intuição: essa estatística mede quantos desvios-padrão (do erro padrão) a média amostral está afastada da média anunciada.

Passo 4

Cálculo do erro padrão e da estatística Z:
Primeiro a raiz quadrada de n:
\sqrt{n}=\sqrt{45}\approx 6{,}7082039.
Erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{45}}\approx 0{,}4472136.
Agora a estatística:
Z=\frac{16-15}{0{,}4472136}\approx 2{,}2360679.
Arredondando para visualização: Z\approx 2{,}236.

Passo 5

Regra de decisão pelo valor crítico:
Para um teste bilateral com nível \alpha=0{,}05, os valores críticos da normal padrão são
z_{\alpha/2}=\pm 1{,}96.
Regra: rejeitar H_0 se |Z|>1{,}96. Aqui |Z|\approx 2{,}236>1{,}96, portanto a regra diz para rejeitar H_0.

Passo 6

Cálculo do p‑valor (para reforçar a conclusão):
O p‑valor bilateral é
p = 2\bigl(1-\Phi(|Z|)\bigr).
Usando tabela ou calculadora da normal padrão para |Z|=2{,}236:
\Phi(2{,}236)\approx 0{,}9873, então
p \approx 2(1-0{,}9873)=2(0{,}0127)=0{,}0254.
Como p\approx 0{,}0254 < \alpha=0{,}05, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 7

Interpretação em linguagem simples:
Rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5\%. Isso significa que, com os dados da amostra, há evidências estatísticas de que o tempo médio de atendimento não é 15 minutos. A média amostral foi 16 minutos e o teste indica que essa diferença é improvável de ocorrer por acaso se a média verdadeira fosse 15; além disso, a direção da diferença sugere que o tempo médio tende a ser maior do que 15 minutos.
Força motivadora: você conseguiu! Resultado claro e o procedimento é direto quando \sigma é conhecido — lembre desse passo a passo na prova: montar hipóteses, decidir bilateral/unilateral, calcular Z, comparar com z_{crit} e/ou p‑valor, e interpretar.

Resposta

Rejeita H_0 ao nível de 0{,}05; Z\approx 2{,}236, p\approx 0{,}0254. Há evidências de que o tempo médio de atendimento difere de 15 minutos (a amostra indica aumento).

Exercícios relacionados