Um nutricionista mede a ingestão de calorias de 12 pacientes e encontra média de 1850 kcal , com desvio padrão de 150 kcal . Construa um intervalo de confiança de 95 \% para a ingestão calórica média.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
\text{Foi medida a ingestão calórica de }n=12\text{ pacientes.}ãó
\text{Média amostral } \bar{x}=1850\\ \text{kcal.}é
\text{Desvio-padrão amostral } s=150\\ \text{kcal.}ã
\text{Nível de confiança pedido: }95\%.íç
Pergunta: construir um intervalo de confiança de 95\% para a ingestão calórica média populacional.

Passo 2

Decisão do método e justificativa (como escolher o procedimento correto):
  • Quando queremos um intervalo de confiança para a média e a variância/população não é conhecida (aqui só temos s), usamos a distribuição t de Student, especialmente porque a amostra é pequena ( n=12, menor que 30).
  • Portanto vamos usar a fórmula do intervalo de confiança baseada na t-distribuição com df=n-1.
    (Observação: usar a normal z só seria apropriado se a variância populacional \sigma^2 fosse conhecida ou se a amostra fosse grande; aqui não é o caso.)

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança com t:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=1850).
  • \alpha é o nível de significância; para 95\% de confiança \alpha=0,05 e 1-\alpha/2=0,975.
  • df são os graus de liberdade, df=n-1.
  • t_{1-\alpha/2,\,df} é o quantil crítico da distribuição t com df graus de liberdade, tal que a área à direita seja \alpha/2.
  • s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (standart error), onde s é o desvio-padrão amostral.

Passo 4

Calcular os parâmetros necessários:
df=n-1=12-1=11.
Procuramos t_{0,975,\,11} numa tabela de t ou numa calculadora estatística. O valor tabelado é aproximadamente
t_{0,975,\,11}\approx 2,201.
(Este valor foi obtido da tabela da distribuição t para nível de confiança 95\% e 11 graus de liberdade.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da média:
\sqrt{n}=\sqrt{12}\approx 3,4641.
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{150}{\sqrt{12}}\approx\frac{150}{3,4641}\approx 43,3013.
Aqui expliquei cada passo: primeiro tirei a raiz de 12 e depois dividi 150 por esse número para obter o erro padrão.

Passo 6

Calcular a margem de erro E:
E=t_{0,975,11}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,201\cdot 43,3013\approx 95,299\approx 95,30.
Interpretação da margem de erro: é quanto a média amostral pode variar para cima e para baixo para formar o intervalo de confiança com 95\% de confiança.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo de confiança:
\text{Limite inferior}=\bar{x}-E=1850-95,30=1754,70.
\text{Limite superior}=\bar{x}+E=1850+95,30=1945,30.

Passo 8

Interpretação final curta (útil para a prova): com 95\% de confiança, o verdadeiro valor médio de ingestão calórica da população de onde vieram esses pacientes está entre 1754,70\\ \text{kcal} e 1945,30\\ \text{kcal}. Em provas, descreva que usamos t pois \sigma é desconhecido e n é pequeno.

Resposta

\\ (1754,70\\ \text{kcal};\\\ 1945,30\\ \text{kcal})

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