Uma empresa afirma que o desvio padrão do tempo de duração de uma ligação recebida para ser transferida para a área correta é menor que 1.4 minuto. Uma amostra aleatória de 25 ligações recebidas tem um desvio padrão de 1.1 minuto. Para o nível de significância alpha=0.10, há evidência suficiente para concordar com a afirmação da empresa? Suponha que a população é normalmente distribuída.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o desvio padrão do tempo que uma ligação demora para ser transferida para a área correta. A empresa diz que esse desvio padrão é menor que 1.4 minuto. A gente vai usar testes de hipótese para verificar se essa afirmação é verdadeira. Precisamos entender conceitos como desvio padrão, testes de hipóteses e a distribuição qui-quadrado para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula (H₀) é a que a empresa quer refutar, e a hipótese alternativa (H₁) é o que queremos provar.
  • H₀: O desvio padrão σ é maior ou igual a 1.4 minuto. ( )
  • H₁: O desvio padrão σ é menor que 1.4 minuto. ( )

Passo 3

Agora, vamos identificar o nível de significância, que é o quanto estamos dispostos a arriscar na decisão de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Aqui, o nível de significância é .
Como estamos testando se o desvio padrão é menor que o valor especificado, nosso teste será unilateral à esquerda. Isso significa que vamos olhar para a parte esquerda da distribuição qui-quadrado.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste estatístico usando a distribuição qui-quadrado. A fórmula para o teste é:
chi^2 = (n - 1) cdot s^2sigma0^2
Onde:
  • chi^2 = (25 - 1) cdot (1.1)^2(1.4)^2 = 24 cdot 1.211.96 = 29.041.96 approx 14.81 (tamanho da amostra)
  • (desvio padrão da amostra)
  • (desvio padrão segundo a empresa)
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor crítico da distribuição qui-quadrado para e graus de liberdade. Usando uma tabela de qui-quadrado ou uma calculadora:
  • Valor crítico
Vamos comparar o valor do teste com o valor crítico:
  • Se , rejeitamos .
  • Aqui, , então rejeitamos .

Resposta

Com nível de significância de 10%, temos evidência suficiente para concordar que o desvio padrão do tempo de duração das ligações é menor que 1.4 minuto.

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