Um experimento consiste em jogar um dado até que o mesmo resultado seja obtido por duas vezes consecutivas. Defina Y como sendo a variável aleatória que representa o número necessário de lançamentos até que isso aconteça. Determine a distribuição de probabilidade desta variável aleatória Y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y, que representa o número de lançamentos de um dado necessário para obter o mesmo resultado duas vezes seguidas. Aqui, estamos trabalhando com probabilidade e variáveis aleatórias, especificamente buscando entender como Y se comporta em termos de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a variável Y assumir um valor específico, digamos n. Isso quer dizer que nos primeiros n-1 lançamentos não tivemos dois resultados iguais consecutivamente, e no n-ésimo lançamento, conseguimos repetir o resultado do lançamento anterior. Vamos calcular a probabilidade disso acontecer.

Passo 3

Vamos dividir esse cálculo em duas partes:
  1. Probabilidade de não repetir o resultado nos primeiros n-1 lançamentos:
    • No primeiro lançamento, temos 6 possibilidades.
    • Em cada lançamento seguinte, para não repetir o anterior, temos 5 opções diferentes.
    • Então, a probabilidade de não repetir nos primeiros n-1 lançamentos é (56)^n-2.
  2. Probabilidade de repetir o resultado no n-ésimo lançamento:
    • Precisamos que o n-ésimo lançamento seja igual ao (n-1)-ésimo, o que tem probabilidade 16.

Passo 4

Multiplicando as duas probabilidades acima, temos a distribuição de Y:
P(Y = n) = (56)^n-2 times 16
Isso vale para todo n >= 2, já que precisamos de pelo menos dois lançamentos para ter dois resultados iguais consecutivamente.

Resposta

A distribuição de probabilidade da variável aleatória Y é dada por:
P(Y = n) = (56)^n-2 times 16, para todo n >= 2

Exercícios relacionados