Um experimento consiste em jogar um dado até que o mesmo resultado seja obtido por duas vezes consecutivas. Defina
como sendo a variável aleatória que representa o número necessário de lançamentos até que isso aconteça. Determine a distribuição de probabilidade desta variável aleatória
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para descobrir a distribuição de probabilidade da variável aleatória
, que representa o número de lançamentos de um dado necessário para obter o mesmo resultado duas vezes seguidas. Aqui, estamos trabalhando com probabilidade e variáveis aleatórias, especificamente buscando entender como
se comporta em termos de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a variável
assumir um valor específico, digamos
. Isso quer dizer que nos primeiros
lançamentos não tivemos dois resultados iguais consecutivamente, e no
-ésimo lançamento, conseguimos repetir o resultado do lançamento anterior. Vamos calcular a probabilidade disso acontecer.
Passo 3
Vamos dividir esse cálculo em duas partes:
- Probabilidade de não repetir o resultado nos primeiros
lançamentos: - No primeiro lançamento, temos 6 possibilidades.
- Em cada lançamento seguinte, para não repetir o anterior, temos 5 opções diferentes.
- Então, a probabilidade de não repetir nos primeiros
lançamentos é .
- Probabilidade de repetir o resultado no
-ésimo lançamento: - Precisamos que o
-ésimo lançamento seja igual ao -ésimo, o que tem probabilidade .
- Precisamos que o
Passo 4
Multiplicando as duas probabilidades acima, temos a distribuição de
:
Isso vale para todo
, já que precisamos de pelo menos dois lançamentos para ter dois resultados iguais consecutivamente.
Resposta
A distribuição de probabilidade da variável aleatória
é dada por: