Passageiros participantes de um programa de milhagens de uma companhia aérea acumulam em média 34 mil milhas por ano com desvio padrão 17 mil milhas por ano. Durante uma promoção, a companhia aérea decide escolher 45 participantes do programa de milhagens e dar um bônus de
para cada 1000 milhas percorridas.
Qual a probabilidade de que o total de bonificações fique entre 14850 e 17550 reais?
Qual a probabilidade de que o total de bonificações fique entre 14850 e 17550 reais?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre passageiros de um programa de milhagens que, em média, acumulam 34 mil milhas por ano, com um desvio padrão de 17 mil. A companhia aérea vai escolher 45 participantes e dar um bônus de R$ 10,00 para cada 1.000 milhas percorridas. Queremos descobrir a probabilidade de que o total das bonificações fique entre R$ 14.850 e R$ 17.550. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente a Distribuição Normal e o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quanto, em média, cada participante vai receber de bônus. Como o bônus é de R$ 10,00 por 1.000 milhas, se alguém fizer 34 mil milhas por ano, o bônus dessa pessoa será:
Então, em média, cada participante recebe R$ 340,00.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média total dos bônus para os 45 participantes. Basta multiplicar o bônus médio por pessoa pelo número de participantes:
Então, a média total dos bônus é de R$ 15.300,00.
Passo 4
Em seguida, precisamos calcular o desvio padrão total dos bônus. Primeiro, encontramos o desvio padrão do bônus por pessoa:
Agora, como estamos somando os bônus de 45 pessoas, o desvio padrão total será:
Então, o desvio padrão total é de aproximadamente R$ 1.141,36.
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de que o total dos bônus esteja entre R$ 14.850,00 e R$ 17.550,00. Vamos transformar esses valores em escores z para usar a Tabela da Normal Padrão.
Primeiro, para R$ 14.850,00:
E para R$ 17.550,00:
Passo 6
Com os escores z calculados, consultamos a Tabela da Normal Padrão para encontrar as probabilidades correspondentes.
- Para
, a probabilidade acumulada até esse ponto é aproximadamente 0,347. - Para
, a probabilidade acumulada é aproximadamente 0,975.
Para encontrar a probabilidade entre esses dois valores, subtraímos as duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que o total de bonificações fique entre R$ 14.850,00 e R$ 17.550,00 é de aproximadamente 62,8%.