Suponha que a distância média de casa até a Unicamp percorrida pelos alunos do primeiro ano seja de 15 km, com desvio padrão de 10 km. Se você retirar uma amostra aleatória de 90 alunos do primeiro ano. Qual o percentil 88 da distribuição da média amostral da distância de casa até a Unicamp?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de estatística que fala sobre a distância média que os alunos do primeiro ano percorrem de casa até a Unicamp. A gente precisa encontrar o 88º percentil da distribuição da média amostral dessa distância. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e percentis. Vamos precisar calcular a média, o desvio padrão da amostra e usar a tabela da distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Média populacional ( mu): 15 km
  • Desvio padrão populacional ( sigma): 10 km
  • Tamanho da amostra ( n): 90 alunos
Queremos encontrar a distribuição amostral da média dessas distâncias. Segundo o Teorema Central do Limite, quando o tamanho da amostra é grande (nesse caso, 90 é considerado grande), a distribuição das médias amostrais tende a ser normal, independente da distribuição original dos dados.

Passo 3

Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral:
  • Média da distribuição amostral ( mubarx): É igual à média populacional, então mubarx = 15 km.
  • Desvio padrão da distribuição amostral (Erro Padrão - EP):
    A fórmula para o erro padrão é:
    EP = sigmaraizn
    Substituindo os valores:
    EP = 10raiz90 approx 109.4868 approx 1.054
    Então, EP approx 1.054 km.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o 88º percentil dessa distribuição. Isso significa que queremos o valor da média amostral ( barx) tal que há 88% de chance de a média amostral ser menor ou igual a esse valor.
Para achar isso, vamos usar a distribuição normal padrão (z) e a seguinte fórmula de transformação:
z = barx - mubarxEP
Precisamos encontrar o valor de z que corresponde ao 88º percentil. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que:
z0.88 approx 1.175
Agora, vamos substituir na fórmula para achar barx:
1.175 = barx - 151.054
Resolvendo para barx:
barx = 1.175 times 1.054 + 15
barx approx 1.238 + 15
barx approx 16.238 km

Resposta

O 88º percentil da distribuição da média amostral da distância de casa até a Unicamp é aproximadamente 16,24 km.

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