Suponha que a distância média de casa até a Unicamp percorrida pelos alunos do primeiro ano seja de 15 km, com desvio padrão de 10 km. Se você retirar uma amostra aleatória de 90 alunos do primeiro ano. Qual o percentil
da distribuição da média amostral da distância de casa até a Unicamp?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de estatística que fala sobre a distância média que os alunos do primeiro ano percorrem de casa até a Unicamp. A gente precisa encontrar o 88º percentil da distribuição da média amostral dessa distância. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e percentis. Vamos precisar calcular a média, o desvio padrão da amostra e usar a tabela da distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Média populacional (
): 15 km - Desvio padrão populacional (
): 10 km - Tamanho da amostra (
): 90 alunos
Queremos encontrar a distribuição amostral da média dessas distâncias. Segundo o Teorema Central do Limite, quando o tamanho da amostra é grande (nesse caso, 90 é considerado grande), a distribuição das médias amostrais tende a ser normal, independente da distribuição original dos dados.
Passo 3
Agora, vamos calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral:
-
Média da distribuição amostral (
): É igual à média populacional, então km. -
Desvio padrão da distribuição amostral (Erro Padrão -
): A fórmula para o erro padrão é:Substituindo os valores:Então,km.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o 88º percentil dessa distribuição. Isso significa que queremos o valor da média amostral (
) tal que há 88% de chance de a média amostral ser menor ou igual a esse valor.
Para achar isso, vamos usar a distribuição normal padrão (z) e a seguinte fórmula de transformação:
Precisamos encontrar o valor de
que corresponde ao 88º percentil. Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que:
Agora, vamos substituir na fórmula para achar
:
Resolvendo para
:
Resposta
O 88º percentil da distribuição da média amostral da distância de casa até a Unicamp é aproximadamente 16,24 km.