Seja X uma variável aleatória contínua cuja f d p é dada por:
f(x)=rll x / 3 & se & 0 <= x <= 2 (k-x)^2 / 8 & se & 2
Nessas condições, pede-se:
(e) O valor de c tal que P(X >= c)=0,8.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (f.d.p) definida por partes. O enunciado pede para encontrar o valor de $ c $ tal que a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ c $ seja 0,8. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções densidade de probabilidade e integrar para encontrar probabilidades.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com uma função de densidade de probabilidade, sabemos que a integral total de $ f(x) $ de f(x) até $ +\infty $ deve ser igual a 1. No nosso caso, a função é definida de 0 a 4, então vamos garantir que a integral de 0 a 4 de $ f(x) $ seja 1.

Passo 3

Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 2 e de 2 a 4:
f(x)
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 4

Primeiro, a integral de 0 a 2:
integral0^2 x3 , dx = 13 [ x^22 ]0^2 = 13 ( 42 - 0 ) = 13 times 2 = 23

Passo 5

Agora, a integral de 2 a 4:
integral2^4 (k - x)^28 , dx = 18 integral2^4 (k^2 - 2k x + x^2) , dx = 18 [ k^2 x - k x^2 + x^33 ]2^4
Calculando essa expressão:
18 [ k^2 (4 - 2) - k (16 - 4) + 643 - 83 ] = 18 [ 2k^2 - 12k + 563 ]

Passo 6

Somando as duas integrais e igualando a 1:
23 + 18 ( 2k^2 - 12k + 563 ) = 1
Multiplicando tudo por 24 para eliminar os denominadores:
16 + 3(2k^2 - 12k + 563) = 24
Simplificando:
16 + 6k^2 - 36k + 56 = 24
6k^2 - 36k + 72 = 24
6k^2 - 36k + 48 = 0
k^2 - 6k + 8 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
k = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm 22 Rightarrow k = 4 ou k = 2
Vamos verificar qual valor de $ k $ faz sentido no contexto. Se $ k = 2 $, a função $ f(x) $ para $ 2 < x \leq 4 $ seria k , que é válida. Portanto, vamos usar $ k = 2 $.

Passo 7

Agora que temos $ k = 2 $, vamos encontrar $ c $ tal que $ P(X \geq c) = 0,8 $. Isso é equivalente a $ P(X < c) = 0,2 $.
Vamos calcular a função de distribuição acumulada (F.D.A) de $ X $ e encontrar $ c $ para que $ F© = 0,2 $.

Passo 8

A F.D.A de $ X $ é dada por:
X
Como $ f(x) $ tem duas partes, precisamos considerar onde $ c $ está localizado.
Como queremos $ F© = 0,2 $, que é uma probabilidade menor, é provável que $ c $ esteja no primeiro intervalo, ou seja, $ 0 \leq c \leq 2 $.
Portanto:
F(c) = integral0^c f(x) , dx

Passo 9

Resolvendo para $ c $:
c

Resposta

O valor de $ c $ tal que $ P(X \geq c) = 0,8 $ é aproximadamente $ c \approx 1,095 $.

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