Seja uma variável aleatória contínua cuja é dada por:
Nessas condições, pede-se:
(e) O valor de c tal que P(X >= c)=0,8.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo uma variável aleatória contínua $ X $ com uma função densidade de probabilidade (f.d.p) definida por partes. O enunciado pede para encontrar o valor de $ c $ tal que a probabilidade de $ X $ ser maior ou igual a $ c $ seja 0,8. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com funções densidade de probabilidade e integrar para encontrar probabilidades.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com uma função de densidade de probabilidade, sabemos que a integral total de $ f(x) $ de f(x) até $ +\infty $ deve ser igual a 1. No nosso caso, a função é definida de 0 a 4, então vamos garantir que a integral de 0 a 4 de $ f(x) $ seja 1.
Passo 3
Vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 2 e de 2 a 4:
Multiplicando tudo por 24 para eliminar os denominadores:
16 + 3(2k^2 - 12k + 563) = 24
Simplificando:
16 + 6k^2 - 36k + 56 = 24
6k^2 - 36k + 72 = 24
6k^2 - 36k + 48 = 0
k^2 - 6k + 8 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
k = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm 22 Rightarrow k = 4 ou k = 2
Vamos verificar qual valor de $ k $ faz sentido no contexto. Se $ k = 2 $, a função $ f(x) $ para $ 2 < x \leq 4 $ seria k , que é válida. Portanto, vamos usar $ k = 2 $.
Passo 7
Agora que temos $ k = 2 $, vamos encontrar $ c $ tal que $ P(X \geq c) = 0,8 $. Isso é equivalente a $ P(X < c) = 0,2 $.