Uma empresa afirma que o diâmetro médio de um pistão produzido em sua fábrica é de 50 mm. Uma amostra aleatória de 30 pistões foi coletada, e o diâmetro médio medido foi de
, com um desvio-padrão de 0,2 mm. Teste, com um nível de significância de
, se há evidências para afirmar que o diâmetro médio dos pistões produzidos é diferente de 50 mm.
Compare o valor do teste com a região crítica para o nível de significância de
.
Compare o valor do teste com a região crítica para o nível de significância de
Passo 1
Tranquilo, vamos recapitular o que o exercício pede e quais conceitos vamos usar:
- Enunciado resumido: uma fábrica afirma que o diâmetro médio dos pistões é 50 mm. A gente coletou uma amostra de 30 pistões e mediu média de 49,8 mm com desvio‐padrão amostral de 0,2 mm. Queremos testar, a 5 % de significância, se a verdadeira média é diferente de 50 mm.
- Matéria: teste de hipótese para média, quando não conhecemos o desvio‐padrão da população (teste t de Student).
- O que vamos precisar: formular hipóteses, calcular a estatística de teste
comparar com valores críticos da distribuição t com graus de liberdade, e concluir.
Passo 2
Definindo as hipóteses:
- Hipótese nula
: média = 50 mm, ou seja . - Hipótese alternativa
: média diferente de 50 mm, ou seja .
É um teste bicaudal (duas caudas), porque queremos saber se é “diferente” (pode ser maior ou menor).
Passo 3
Agora a estatística de teste. Como o desvio‐padrão da população não é conhecido, usamos o desvio amostral
mm e a distribuição t com
graus de liberdade:
Calculando
, vem
Passo 4
Região crítica para
(bicaudal) e
:
- As caudas somam 5 %, então cada uma tem 2,5 %.
- O valor crítico é
.
Região de rejeição:ou .
Como
fica muito abaixo de
, a gente rejeita
. Ou seja, há evidências de que a média não é 50 mm ao nível de 5 %.
Passo 5
Agora, só pra comparar, qual seria a região crítica a
?
- Bicaudal 1 %, cada cauda tem 0,5 %.
-
.
Região:ou .
Mesmo assim, como
, continuaríamos rejeitando
a 1 % também.
Resposta
A estatística de teste é
.
– Para , o crítico é
. Como
, rejeitamos
.
– Para , o crítico é
. Como
, rejeitamos
também. Portanto, há evidências de que o diâmetro médio dos pistões difere de 50 mm.
– Para
– Para