Uma empresa afirma que o diâmetro médio de um pistão produzido em sua fábrica é de 50 mm. Uma amostra aleatória de 30 pistões foi coletada, e o diâmetro médio medido foi de 49,8 mm, com um desvio-padrão de 0,2 mm. Teste, com um nível de significância de 5 %, se há evidências para afirmar que o diâmetro médio dos pistões produzidos é diferente de 50 mm.
Compare o valor do teste com a região crítica para o nível de significância de 1 %.

Passo 1

Tranquilo, vamos recapitular o que o exercício pede e quais conceitos vamos usar:
  • Enunciado resumido: uma fábrica afirma que o diâmetro médio dos pistões é 50 mm. A gente coletou uma amostra de 30 pistões e mediu média de 49,8 mm com desvio‐padrão amostral de 0,2 mm. Queremos testar, a 5 % de significância, se a verdadeira média é diferente de 50 mm.
  • Matéria: teste de hipótese para média, quando não conhecemos o desvio‐padrão da população (teste t de Student).
  • O que vamos precisar: formular hipóteses, calcular a estatística de teste t = bar x - mu0s/raizn, comparar com valores críticos da distribuição t com graus de liberdade, e concluir.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
  • Hipótese nula : média = 50 mm, ou seja .
  • Hipótese alternativa : média diferente de 50 mm, ou seja .
    É um teste bicaudal (duas caudas), porque queremos saber se é “diferente” (pode ser maior ou menor).

Passo 3

Agora a estatística de teste. Como o desvio‐padrão da população não é conhecido, usamos o desvio amostral tobs = bar x - mu0s/raizn = 49,8 - 500,2/raiz30 = -0,20,2/raiz30 mm e a distribuição t com tobsapprox -0,20,0365approx -5,48 graus de liberdade:
Calculando , vem

Passo 4

Região crítica para (bicaudal) e :
  • As caudas somam 5 %, então cada uma tem 2,5 %.
  • O valor crítico é .
    Região de rejeição: ou .
Como fica muito abaixo de , a gente rejeita . Ou seja, há evidências de que a média não é 50 mm ao nível de 5 %.

Passo 5

Agora, só pra comparar, qual seria a região crítica a ?
  • Bicaudal 1 %, cada cauda tem 0,5 %.
  • .
    Região: ou .
Mesmo assim, como , continuaríamos rejeitando a 1 % também.

Resposta

A estatística de teste é .
– Para , o crítico é . Como , rejeitamos .
– Para , o crítico é . Como , rejeitamos também. Portanto, há evidências de que o diâmetro médio dos pistões difere de 50 mm.

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