Uma empresa de aluguel de carros tem em sua frota 4 carros de luxo e ela aluga esses carros por dia, segundo a seguinte função de distribuição de probabilidade:
Número de carros alugados/dia 0 1 2 3 4
Probabilidade de alugar 0,10 0,30 0,30 0,20 0,10
O valor do aluguel é de R por dia; a despesa total com manutenção é de por dia; a despesa total com manutenção é de por dia quando o carro é alugado e de 500,00 por dia quando o carro não é alugado. Calcule:
a) o número médio de carros de luxo alugados por dia, bem como o desvio padrão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma empresa que aluga carros de luxo e nos dá a distribuição de probabilidades de quantos carros são alugados por dia. Vamos trabalhar com estatística, mais especificamente com distribuição de probabilidade discreta. Precisaremos calcular o número médio de carros alugados por dia (que é a média esperada) e o desvio padrão (que mede a variação dos alugueis em torno da média).

Passo 2

Primeiro, vamos entender a tabela de distribuição de probabilidades que nos foi dada:
Número de carros alugados/dia 0 1 2 3 4
Probabilidade de alugar 0,10 0,30 0,30 0,20 0,10
Cada número de carros alugados tem uma probabilidade associada. Por exemplo, a probabilidade de ninguém alugar é 0,10, de alugar 1 carro é 0,30, e assim por diante.

Passo 3

Para encontrar o número médio de carros alugados por dia, usamos a fórmula da esperança matemática (média) para uma distribuição discreta:
E(X) = sumi xi cdot P(xi)
Onde $ x_i $ são os valores possíveis (número de carros alugados) e $ P(x_i) $ são as probabilidades correspondentes.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com os valores da tabela:
E(X) = 0 cdot 0,10 + 1 cdot 0,30 + 2 cdot 0,30 + 3 cdot 0,20 + 4 cdot 0,10
Calculando cada termo:
E(X) = 0 + 0,30 + 0,60 + 0,60 + 0,40 = 1,90
Então, o número médio de carros alugados por dia é 1,90.

Passo 5

Agora, para calcular o desvio padrão, primeiro precisamos encontrar a variância. A variância é dada por:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, vamos calcular $ E(X^2) $, que é a esperança do quadrado das variáveis.
E(X^2)

Passo 6

Aplicando a fórmula com os valores da tabela:
E(X^2) = 0^2 cdot 0,10 + 1^2 cdot 0,30 + 2^2 cdot 0,30 + 3^2 cdot 0,20 + 4^2 cdot 0,10
Calculando cada termo:
E(X^2) = 0 + 0,30 + 1,20 + 1,80 + 1,60 = 4,90

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da variância:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4,90 - (1,90)^2 = 4,90 - 3,61 = 1,29
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
sigma = raizVar(X) = raiz1,29 approx 1,14

Resposta

O número médio de carros de luxo alugados por dia é 1,90 e o desvio padrão é aproximadamente 1,14.

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