Seja uma v.a. X com fdp dada na tabela a seguir:
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
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a) Encontre o valor de
para que
seja, de fato, uma função de distribuição de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 e 5. A função de distribuição de probabilidade (fdp) dessa variável está dada na tabela com expressões envolvendo $ p $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ p $ que faz dessa tabela, de fato, uma função de distribuição de probabilidade válida. Para isso, vamos precisar entender que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer função de distribuição de probabilidade válida, a soma de todas as probabilidades associadas aos valores que a variável pode assumir deve ser 1. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores da tabela na equação. Segundo o enunciado, temos:
Então, substituindo na soma:
Passo 4
Vamos simplificar a equação somando os termos semelhantes:
Agora, rearranjamos a equação para formar uma equação quadrática padrão:
Passo 5
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 3 $, $ b = 2 $ e $ c = -1 $. Substituindo esses valores:
Passo 6
Calculando as duas possíveis soluções:
- Primeira solução:
- Segunda solução:
Como $ p $ representa uma probabilidade, ele não pode ser negativo. Portanto, descartamos a segunda solução.
Resposta
O valor de $ p $ que torna $ f_{X}(x) $ uma função de distribuição de probabilidade válida é $ p = \frac{1}{3} $.