Seja uma v.a. X com fdp dada na tabela a seguir:
x 1 2 3 4 5
fX(x) p^2 p^2 p p p^2
a) Encontre o valor de p para que fX(x) seja, de fato, uma função de distribuição de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma variável aleatória $ X $ que pode assumir os valores 1, 2, 3, 4 e 5. A função de distribuição de probabilidade (fdp) dessa variável está dada na tabela com expressões envolvendo $ p $. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de $ p $ que faz dessa tabela, de fato, uma função de distribuição de probabilidade válida. Para isso, vamos precisar entender que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer função de distribuição de probabilidade válida, a soma de todas as probabilidades associadas aos valores que a variável pode assumir deve ser 1. Isso significa que:
fX(1) + fX(2) + fX(3) + fX(4) + fX(5) = 1

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores da tabela na equação. Segundo o enunciado, temos:
fX(1) = p^2 fX(2) = p^2 fX(3) = p fX(4) = p fX(5) = p^2
Então, substituindo na soma:
p^2 + p^2 + p + p + p^2 = 1

Passo 4

Vamos simplificar a equação somando os termos semelhantes:
3p^2 + 2p = 1
Agora, rearranjamos a equação para formar uma equação quadrática padrão:
3p^2 + 2p - 1 = 0

Passo 5

Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
p = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde $ a = 3 $, $ b = 2 $ e $ c = -1 $. Substituindo esses valores:
a = 3

Passo 6

Calculando as duas possíveis soluções:
  1. Primeira solução:
p = -2 + 46 = 26 = 13
  1. Segunda solução:
p = -2 - 46 = -66 = -1
Como $ p $ representa uma probabilidade, ele não pode ser negativo. Portanto, descartamos a segunda solução.

Resposta

O valor de $ p $ que torna $ f_{X}(x) $ uma função de distribuição de probabilidade válida é $ p = \frac{1}{3} $.

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