A empresa Apollo fabrica agendas eletrônicas a custo variável de
dólares, onde denota o número de unidades fabricadas por mês. custo fixo mensal da divisão que produz essas agendas eletrônicas é de 100.000 x$ agendas eletrônicas é dado pela função receita total
onde é medido em dólares.
Determine a função lucro total. Qual é o lucro quando 1.500 unidades são produzidas e vendidas por mês.

Passo 1

O enunciado nos dá o custo variável
CV(x)=0.000003x^3-0.03x^2+200x
e o custo fixo mensal de $100,000. A receita total é
R(x)=-0.1x^2+500x
Queremos achar a função lucro pi(x), sabendo que
pi(x)=R(x)-l(custo totalr),
onde o custo total é a soma do custo variável com o custo fixo.

Passo 2

O custo total C(x) é
C(x)=CV(x)+100000
e, substituindo CV(x), obtemos
C(x)=0.000003x^3-0.03x^2+200x+100000

Passo 3

O lucro total pi(x) é a diferença entre receita e custo:
pi(x)=R(x)-C(x)
Substituindo R(x)=-0.1x^2+500x e C(x) acima, temos
pi(x)=-0.1x^2+500x-l(0.000003x^3-0.03x^2+200x+100000r)
Fazendo as combinações de termos, resulta
pi(x)=-0.000003x^3-0.07x^2+300x-100000

Passo 4

Para x=1500, calculamos
pi(1500)=-0.000003,(1500)^3-0.07,(1500)^2+300cdot1500-100000
Como
-0.000003,(1500)^3=-10125, -0.07,(1500)^2=-157500, 300cdot1500=450000,
segue que
pi(1500)=-10125-157500+450000-100000=182375

Resposta

A função lucro total é
pi(x)=-0.000003x^3-0.07x^2+300x-100000
O lucro quando são produzidas e vendidas 1500 unidades é $182375.

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