Um imóvel é vendido nas seguintes condições de pagamento:
mais 60 prestações mensais de \ 800,00$ cada, ocorrendo o primeiro pagamento daqui a dois meses.
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?

Passo 1

Entender o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • 60 prestações mensais de \$800{,}00 cada.
    • O primeiro pagamento ocorre daqui a 2 meses (ou seja, nos tempos t=2,3,\dots,61 em meses).
    • A taxa corrente de juros é 1{,}8\% ao mês.
  • Pergunta:
    • Até que preço vale a pena pagar o imóvel à vista? (Ou seja: qual o valor à vista equivalente ao plano de pagamento pela ótica do mercado a 1{,}8\% a.m.?)

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, devagar).
  • O que é valor presente (PV)? É quanto vale hoje uma sequência de pagamentos futuros descontados pela taxa de juros do mercado. Se eu sei quanto serão os pagamentos futuros e a taxa, somo cada pagamento trazido a valor de hoje.
  • Definimos i como a taxa por período (aqui i=0{,}018 ao mês). Definimos o fator de desconto v=\frac{1}{1+i}.Esse v é usado para trazer uma unidade paga daqui a 1 mês para o valor de hoje: 1 pago daqui a 1 mês vale v hoje; pago daqui a t meses vale v^t hoje.
  • Para uma anuidade imediata (pagamentos iguais R nos finais dos períodos 1,2,\dots,n), o valor presente é a_{\overline{n}|i}=\sum_{s=1}^{n} v^{s}=\frac{1-v^{n}}{i}.Aqui a_{\overline{n}|i} é a soma dos descontos dos n pagamentos de 1 unidade; multiplicando por R obtenho o PV dos pagamentos R.
  • Para uma anuidade que começa mais tarde (adiada), por exemplo com primeiro pagamento em t=k, eu trago a anuidade até o tempo k-1 e depois ao tempo zero. No caso de pagamentos em t=k,k+1,\dots,k+n-1 (ou seja, n pagamentos começando no mês k), o PV em t=0 é \text{PV}_0 = v^{\,k-1}\; R\; a_{\overline{n}|i}.Motivo: somamos R v^{k} + R v^{k+1} + \dots + R v^{k+n-1} = v^{k-1} \cdot R \cdot (v + v^{2} + \dots + v^{n}) = v^{k-1} R a_{\overline{n}|i}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso concreto.
  • Temos R=\$800{,}00, n=60 pagamentos, i=0{,}018, e o primeiro pagamento é em t=2. Assim aqui k=2.
  • Logo o valor presente hoje (o preço máximo que vale a pena pagar à vista) é \text{PV}_0 = R \cdot v^{\,k-1} \cdot a_{\overline{n}|i} = 800 \cdot v \cdot a_{\overline{60}|0{,}018}.

Passo 4

Calcular os termos numéricos passo a passo.
  • Primeiro o fator de desconto v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+0{,}018}=\frac{1}{1{,}018}\approx 0{,}982318.(fiz divisão direta; arredondei para seis casas decimais para manter precisão razoável.)
  • Agora v^{60}. Uma maneira prática é usar logaritmo: \ln(v^{60})=60\ln(v). Como \ln(1{,}018)\approx 0{,}01783994, então \ln(v)=-\ln(1{,}018)\approx -0{,}01783994 e v^{60}=\exp(60\ln(v))\approx \exp(-1{,}0703964)\approx 0{,}34274.(Aqui usei a expansão de log e a exponencial para obter v^{60} com boa aproximação.)
  • Calculemos a anuidade a_{\overline{60}|0{,}018}=\frac{1-v^{60}}{i}=\frac{1-0{,}34274}{0{,}018}=\frac{0{,}65726}{0{,}018}\approx 36{,}5143.

Passo 5

Calcular o valor presente final e interpretar.
  • Temos \text{PV}_0 = 800 \cdot v \cdot a_{\overline{60}|0{,}018}.Substituindo números: \text{PV}_0 \approx 800 \cdot 0{,}982318 \cdot 36{,}5143.Primeiro 0{,}982318\cdot 36{,}5143 \approx 35{,}8692.
    Então \text{PV}_0 \approx 800 \cdot 35{,}8692 \approx 28\,695{,}36.
  • Interpretação: se a taxa de mercado é 1{,}8\% ao mês, receber 60 parcelas de \$800 começando dentro de 2 meses vale hoje aproximadamente \$28.695{,}36. Portanto, pagar à vista até esse valor (ou menor) é vantajoso — se o vendedor pede mais, financeiramente compensa financiar nas parcelas.

Resposta

\displaystyle R\$\,28.695{,}36

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