Um imóvel é vendido nas seguintes condições de pagamento:
mais 60 prestações mensais de
800,00$ cada, ocorrendo o primeiro pagamento daqui a dois meses.
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?
mais 60 prestações mensais de
Sendo de 1,8% a.m. a taxa corrente de juros de mercado, até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista?
Passo 1
Entender o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados do enunciado:
- Há
prestações mensais de cada. - O primeiro pagamento ocorre daqui a
meses (ou seja, nos tempos em meses). - A taxa corrente de juros é
ao mês.
- Há
- Pergunta:
- Até que preço vale a pena pagar o imóvel à vista? (Ou seja: qual o valor à vista equivalente ao plano de pagamento pela ótica do mercado a
a.m.?)
- Até que preço vale a pena pagar o imóvel à vista? (Ou seja: qual o valor à vista equivalente ao plano de pagamento pela ótica do mercado a
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho, devagar).
- O que é valor presente (PV)? É quanto vale hoje uma sequência de pagamentos futuros descontados pela taxa de juros do mercado. Se eu sei quanto serão os pagamentos futuros e a taxa, somo cada pagamento trazido a valor de hoje.
- Definimos
como a taxa por período (aqui ao mês). Definimos o fator de desconto Esse é usado para trazer uma unidade paga daqui a 1 mês para o valor de hoje: pago daqui a 1 mês vale hoje; pago daqui a meses vale hoje. - Para uma anuidade imediata (pagamentos iguais
nos finais dos períodos ), o valor presente é Aqui é a soma dos descontos dos pagamentos de unidade; multiplicando por obtenho o PV dos pagamentos . - Para uma anuidade que começa mais tarde (adiada), por exemplo com primeiro pagamento em
, eu trago a anuidade até o tempo e depois ao tempo zero. No caso de pagamentos em (ou seja, n pagamentos começando no mês ), o PV em é Motivo: somamos .
Passo 3
Aplicando ao nosso caso concreto.
- Temos
, pagamentos, , e o primeiro pagamento é em . Assim aqui . - Logo o valor presente hoje (o preço máximo que vale a pena pagar à vista) é
Passo 4
Calcular os termos numéricos passo a passo.
- Primeiro o fator de desconto
(fiz divisão direta; arredondei para seis casas decimais para manter precisão razoável.) - Agora
. Uma maneira prática é usar logaritmo: . Como , então e (Aqui usei a expansão de log e a exponencial para obter com boa aproximação.) - Calculemos a anuidade
Passo 5
Calcular o valor presente final e interpretar.
- Temos
Substituindo números: Primeiro .
Então - Interpretação: se a taxa de mercado é
ao mês, receber 60 parcelas de começando dentro de 2 meses vale hoje aproximadamente . Portanto, pagar à vista até esse valor (ou menor) é vantajoso — se o vendedor pede mais, financeiramente compensa financiar nas parcelas.