Uma empresa apresentou uma proposta de segurança. Se a empresa concorrente apresentar uma proposta, há apenas 30 \% de chance de sua empresa ganhar a concorrência. Se o concorrente não apresentar a proposta, há 65 \% de chance de sua empresa ganhar a concorrência. Determine a probabilidade:
a) sua empresa ganhar a concorrência;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O que o enunciado dá:
    • Se o concorrente apresentar proposta: a probabilidade de sua empresa ganhar é \,0,30 (ou 30\%).
    • Se o concorrente não apresentar proposta: a probabilidade de sua empresa ganhar é \,0,65 (ou 65\%).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Determinar a probabilidade de sua empresa ganhar a concorrência (probabilidade total, sem condição).
Observação importante: não foi fornecida a probabilidade de o concorrente apresentar proposta. Essa informação é necessária para calcular um valor numérico da probabilidade total. Portanto a solução terá que expressar a resposta em função da probabilidade do concorrente apresentar a proposta. Não vou inventar esse número.

Passo 2

Vamos definir eventos e escrever a fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo).
  • Defina o evento A = “sua empresa ganha a concorrência”.
  • Defina o evento C = “o concorrente apresenta uma proposta”.
  • Então C^c é o complemento de C, ou seja, “o concorrente não apresenta proposta”.
As probabilidades condicionais dadas são:
P(A\mid C)=0,30\qquad\text{e}\qquad P(A\mid C^c)=0,65.
O que precisamos é a probabilidade total P(A). A ferramenta certa aqui é a Lei da Probabilidade Total, que permite calcular P(A) dividindo os caminhos possíveis (aqui: concorrente apresenta ou não apresenta). A fórmula geral é:
P(A)=P(A\mid C)\,P\text{(C)} + P(A\mid C^c)\,P(C^c).
Explicação da fórmula (passo a passo e de forma intuítiva):
  • A probabilidade de A acontecer pode ser vista como a soma das probabilidades de A ocorrer em cada cenário possível (aqui, os dois cenários são C e C^c).
  • Em cada cenário multiplicamos a probabilidade de ocorrer esse cenário ( P\text{(C)} ou P(C^c)) pela probabilidade de A ocorrer dado aquele cenário ( P(A\mid C) ou P(A\mid C^c)).
  • Somando os dois produtos obtemos a probabilidade total de A.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os números fornecidos, mantendo P\text{(C)} simbólico porque não foi dado numericamente.
Substituindo na Lei da Probabilidade Total:
P(A)=P(A\mid C)\,P\text{(C)} + P(A\mid C^c)\,P(C^c).
Sabendo que P(A\mid C)=0,30, P(A\mid C^c)=0,65 e P(C^c)=1-P\text{(C)}, temos
P(A)=0,30\;P\text{(C)} + 0,65\,(1-P\text{(C)}).

Passo 4

Vamos simplificar a expressão passo a passo (sem pular etapas):
Começando em
P(A)=0,30\,P\text{(C)} + 0,65\,(1-P\text{(C)}).
Multiplicando o segundo termo:
P(A)=0,30\,P\text{(C)} + 0,65 - 0,65\,P\text{(C)}.
Agora somamos os termos que têm P\text{(C)}:
P(A)=(0,30-0,65)\,P\text{(C)} + 0,65.
Calculando 0,30-0,65=-0,35:
P(A)=0,65 - 0,35\,P\text{(C)}.
Interpretando: a probabilidade total de sua empresa ganhar depende linearmente de P\text{(C)}, a probabilidade de o concorrente apresentar uma proposta. Se P\text{(C)} aumentar, a probabilidade total P(A) diminui (porque aquela condição favorece menos sua empresa).

Passo 5

Como o enunciado não fornece P\text{(C)}, não é possível dar um único número final. Contudo, a expressão obtida é a resposta geral. Para fixar a ideia, exemplos numéricos rápidos (opcionais, só para intuir):
  • Se P\text{(C)}=1 (concorrente certamente apresenta), então P(A)=0,65-0,35\cdot1=0,30 (coerente com a condição).
  • Se P\text{(C)}=0 (concorrente certamente não apresenta), então P(A)=0,65.
  • Se P\text{(C)}=0,50, então P(A)=0,65-0,35\cdot0,50=0,65-0,175=0,475 (ou seja, 47{,}5\%).

Resposta

P(\text{sua empresa ganha})=0,65-0,35\,P\text{(C)}

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