Uma empresa apresentou uma proposta de segurança. Se a empresa concorrente apresentar uma proposta, há apenas
de chance de sua empresa ganhar a concorrência. Se o concorrente não apresentar a proposta, há
de chance de sua empresa ganhar a concorrência. Determine a probabilidade:
a) sua empresa ganhar a concorrência;
a) sua empresa ganhar a concorrência;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O que o enunciado dá:
- Se o concorrente apresentar proposta: a probabilidade de sua empresa ganhar é
(ou ). - Se o concorrente não apresentar proposta: a probabilidade de sua empresa ganhar é
(ou ).
- Se o concorrente apresentar proposta: a probabilidade de sua empresa ganhar é
- O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a probabilidade de sua empresa ganhar a concorrência (probabilidade total, sem condição).
Observação importante: não foi fornecida a probabilidade de o concorrente apresentar proposta. Essa informação é necessária para calcular um valor numérico da probabilidade total. Portanto a solução terá que expressar a resposta em função da probabilidade do concorrente apresentar a proposta. Não vou inventar esse número.
Passo 2
Vamos definir eventos e escrever a fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo).
- Defina o evento
= “sua empresa ganha a concorrência”. - Defina o evento
= “o concorrente apresenta uma proposta”. - Então
é o complemento de , ou seja, “o concorrente não apresenta proposta”.
As probabilidades condicionais dadas são:
O que precisamos é a probabilidade total
. A ferramenta certa aqui é a Lei da Probabilidade Total, que permite calcular
dividindo os caminhos possíveis (aqui: concorrente apresenta ou não apresenta). A fórmula geral é:
Explicação da fórmula (passo a passo e de forma intuítiva):
- A probabilidade de
acontecer pode ser vista como a soma das probabilidades de ocorrer em cada cenário possível (aqui, os dois cenários são e ). - Em cada cenário multiplicamos a probabilidade de ocorrer esse cenário (
ou ) pela probabilidade de ocorrer dado aquele cenário ( ou ). - Somando os dois produtos obtemos a probabilidade total de
.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula com os números fornecidos, mantendo
simbólico porque não foi dado numericamente.
Substituindo na Lei da Probabilidade Total:
Sabendo que
,
e
, temos
Passo 4
Vamos simplificar a expressão passo a passo (sem pular etapas):
Começando em
Multiplicando o segundo termo:
Agora somamos os termos que têm
:
Calculando
:
Interpretando: a probabilidade total de sua empresa ganhar depende linearmente de
, a probabilidade de o concorrente apresentar uma proposta. Se
aumentar, a probabilidade total
diminui (porque aquela condição favorece menos sua empresa).
Passo 5
Como o enunciado não fornece
, não é possível dar um único número final. Contudo, a expressão obtida é a resposta geral. Para fixar a ideia, exemplos numéricos rápidos (opcionais, só para intuir):
- Se
(concorrente certamente apresenta), então (coerente com a condição). - Se
(concorrente certamente não apresenta), então . - Se
, então (ou seja, ).