Uma empresa captou empréstimo no valor de \mathrm{R} \$ 200.000,00 pelo sistema de amortização constante (SAC) em 20 prestações mensais, à taxa de juros de 14,4% a.a. Pergunta-se:
a) Qual é o valor da parcela m=12 ?
b) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número m=5, se faltam ainda pagar t parcelas?
c) Qual é o valor do juro incluído na parcela m=5 ?
d) Qual é o valor da importância amortizada (amortização) incluída na parcela de número m=5 ?
e) Qual é o valor dos juros acumulados desde o início do fluxo de caixa até a parcela de número m=5 ?
f) Qual é o valor das amortizações acumuladas no período anterior?
g) Qual é o valor dos juros acumulados num período que vai de m=5 até m^{\prime}=10 ?
h) Qual é o valor das amortizações acumuladas no mesmo período anterior?

Passo 1

O enunciado e os dados importantes (vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido):
  • Empréstimo inicial (principal): P = \mathrm{R}\$\,200.000{,}00.
  • Sistema de amortização: Sistema de Amortização Constante (SAC).
  • Número total de prestações: n = 20 (mensais).
  • Taxa de juro nominal anual: 14{,}4\% a.a.
  • Perguntas:
    (a) Qual o valor da parcela m=12?
    (b) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número m=5, se faltam ainda pagar t parcelas?
    (c) Qual o valor do juro incluído na parcela m=5?
    (d) Qual o valor da importância amortizada (amortização) incluída na parcela de número m=5?
    (e) Qual o valor dos juros acumulados desde o início do fluxo de caixa até a parcela de número m=5?
    (f) Qual o valor das amortizações acumuladas no período anterior (até m=5)?
    (g) Qual o valor dos juros acumulados num período que vai de m=5 até m'=10?
    (h) Qual o valor das amortizações acumuladas no mesmo período anterior?
Observação sobre t: após pagar a parcela m=5 faltam t=n-5=20-5=15 parcelas. Sempre que eu usar fórmulas, explico o significado de cada termo.

Passo 2

Converter a taxa anual para taxa mensal (assumindo taxa nominal com capitalização mensal, que é o procedimento padrão aqui).
  • A taxa anual é \,14{,}4\% a.a. Como são meses e a capitalização é mensal, a taxa mensal é
i=\frac{14{,}4\%}{12}=1{,}2\%\\ \text{ao mês} = 0{,}012\\ \text{(em forma decimal)}.ê
Explicação: dividimos a taxa anual por 12 porque a taxa informada é nominal anual com períodos mensais; em outras situações poderíamos usar a taxa efetiva, mas aqui o enunciado implícito é o caso mais comum (taxa nominal/12).

Passo 3

Característica do SAC e definição das quantidades que vamos usar.
  • No SAC a amortização em cada parcela é constante. Denotando por A a amortização periódica:
A=\frac{P}{n}.
Aqui:
A=\frac{\mathrm{R}\$\,200.000{,}00}{20}=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00.
Explicação didática: “amortização” é a parte da parcela que efetivamente reduz o saldo devedor do principal. No SAC essa parte é sempre fixa a cada pagamento.
  • O juro pago na parcela de ordem k é calculado sobre o saldo devedor imediatamente antes do pagamento k. Se S_{k-1} é o saldo antes de pagar a k-ésima parcela, então o juro dessa parcela é
J_k = i\cdot S_{k-1}.
  • O saldo devedor antes de pagar a parcela k (ou seja, saldo após k-1 pagamentos) no SAC é
S_{k-1}=P-(k-1)A.
Consequentemente, o saldo devedor imediatamente depois de pagar a parcela k é
S_k = P-kA.
Observação: as parcelas pagas (valor total de cada parcela) são
\text{Parcela}_k = A + J_k = A + i\cdot\bigl(P-(k-1)A\bigr).

Passo 4

Calcular passo a passo a parcela m=12 (resposta do item a).
  • Primeiro calcule o saldo antes da parcela 12:
S_{11}=P-11A = \mathrm{R}\$\,200.000{,}00 - 11\cdot\mathrm{R}\$\,10.000{,}00 = \mathrm{R}\$\,90.000{,}00.
  • Juro correspondente à parcela 12:
J_{12}=i\cdot S_{11}=0{,}012\cdot 90.000 = \mathrm{R}\$\,1.080{,}00.
  • Parcela total m=12:
\text{Parcela}_{12}=A+J_{12}=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00 + \mathrm{R}\$\,1.080{,}00 = \mathrm{R}\$\,11.080{,}00.

Passo 5

Calcular o saldo devedor após o pagamento da parcela m=5 (item b) e interpretar t.
  • Saldo após pagar a parcela 5 é S_5:
S_5 = P-5A = \mathrm{R}\$\,200.000{,}00 - 5\cdot\mathrm{R}\$\,10.000{,}00 = \mathrm{R}\$\,150.000{,}00.
  • Número de parcelas restantes t é
t = n-5 = 20-5 = 15.
Explicação: em SAC o saldo após m pagamentos é simplesmente o número de parcelas faltantes vezes A: S_m = (n-m)A. Aqui S_5=(20-5)\cdot 10.000= \mathrm{R}\$\,150.000{,}00.

Passo 6

Calcular o juro incluído na parcela m=5 (item c) e mostrar a amortização nessa parcela (item d).
  • Saldo antes de pagar a parcela 5 é S_4 = P-4A:
S_4 = \mathrm{R}\$\,200.000{,}00 - 4\cdot\mathrm{R}\$\,10.000{,}00 = \mathrm{R}\$\,160.000{,}00.
  • Juro na parcela 5:
J_5 = i\cdot S_4 = 0{,}012\cdot 160.000 = \mathrm{R}\$\,1.920{,}00.
  • Amortização na parcela 5 (SAC = constante):
A=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00.
  • Parcela 5 total seria A+J_5=\mathrm{R}\$\,11.920{,}00 (apenas para checagem).

Passo 7

Calcular os juros acumulados desde o início até a parcela m=5 (item e).
  • Juros acumulados =\sum_{k=1}^{5} J_k = i\sum_{k=1}^{5} S_{k-1}.
  • Usando S_{k-1}=P-(k-1)A,
\sum_{k=1}^{5} S_{k-1} = \sum_{k=1}^{5}\bigl(P-(k-1)A\bigr) = 5P - A\sum_{k=0}^{4} k.
  • A soma 0+1+2+3+4 = 10. Então
\sum_{k=1}^{5} S_{k-1} = 5\cdot 200.000 - 10\cdot 10.000 = 1.000.000 - 100.000 = 900.000.
  • Multiplicando por i:
\sum_{k=1}^{5} J_k = i\cdot 900.000 = 0{,}012\cdot 900.000 = \mathrm{R}\$\,10.800{,}00.
Verificação numérica rápida (soma dos juros individuais): 2.400 + 2.280 + 2.160 + 2.040 + 1.920 = 10.800.

Passo 8

Calcular as amortizações acumuladas até m=5 (item f).
  • Em SAC a amortização por parcela é constante A. Então a amortização acumulada nas primeiras 5 parcelas é
\sum_{k=1}^{5} A = 5\cdot A = 5\cdot \mathrm{R}\$\,10.000{,}00 = \mathrm{R}\$\,50.000{,}00.
Observação: isso deve coincidir com a redução do saldo inicial até S_5: P-S_5 = 200.000-150.000=50.000.

Passo 9

Calcular os juros acumulados no período de m=5 até m'=10 (item g). Interpretação usada: somar os juros das parcelas k=5,6,7,8,9,10 (ou seja, de m=5 a m'=10 inclusive). Se o enunciado quisesse outro intervalo (por exemplo de depois de 5 até 10) haveria diferença de um termo; aqui escolhi a interpretação inclusiva e explico porquê: segue a mesma lógica do item (e) que foi inclusivo até m=5.
  • Número de parcelas neste intervalo: m'=10 e m=5 então são 10-5+1=6 parcelas.
  • Soma dos juros:
\sum_{k=5}^{10} J_k = i\sum_{k=5}^{10} S_{k-1} = i\sum_{t=4}^{9} \bigl(P-tA\bigr),
onde fiz a mudança de índice t=k-1.
  • Calcule a soma: \sum_{t=4}^{9} (P-tA) = 6P - A\sum_{t=4}^{9} t.
  • A soma 4+5+6+7+8+9 = 39. Então
\sum_{k=5}^{10} J_k = i\bigl(6\cdot 200.000 - 10.000\cdot 39\bigr) = 0{,}012\cdot(1.200.000 - 390.000) = 0{,}012\cdot 810.000.
  • Resultado:
\sum_{k=5}^{10} J_k = \mathrm{R}\$\,9.720{,}00.
Cheque rápido com juros individuais: 1.920+1.800+1.680+1.560+1.440+1.320 = 9.720.

Passo 10

Calcular as amortizações acumuladas no mesmo período (item h), com a mesma interpretação inclusiva (parcelas 5 a 10).
  • Em SAC cada parcela tem amortização A=\mathrm{R}\$\,10.000{,}00.
  • Número de parcelas no intervalo 5 a 10 inclusive: 6.
  • Amortização acumulada:
\sum_{k=5}^{10} A = 6\cdot \mathrm{R}\$\,10.000{,}00 = \mathrm{R}\$\,60.000{,}00.
Observação: se alguém pedisse o intervalo estrito (por exemplo das parcelas após 5 até 10), bastaria ajustar o número de parcelas (seriam 5 parcelas e total \mathrm{R}\$\,50.000{,}00) — aqui mantive a interpretação inclusiva para coerência com os itens anteriores.

Resposta

(a) \mathrm{R}\$\,11.080{,}00
(b) \mathrm{R}\$\,150.000{,}00 (aqui t=15 parcelas restantes)
(c) \mathrm{R}\$\,1.920{,}00
(d) \mathrm{R}\$\,10.000{,}00
(e) \mathrm{R}\$\,10.800{,}00
(f) \mathrm{R}\$\,50.000{,}00
(g) \mathrm{R}\$\,9.720{,}00
(h) \mathrm{R}\$\,60.000{,}00

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