Uma empresa captou empréstimo no valor de
200.000,00 pelo sistema de amortização constante (SAC) em 20 prestações mensais, à taxa de juros de 14,4% a.a. Pergunta-se:
a) Qual é o valor da parcela
?
b) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número
, se faltam ainda pagar
parcelas?
c) Qual é o valor do juro incluído na parcela
?
d) Qual é o valor da importância amortizada (amortização) incluída na parcela de número
?
e) Qual é o valor dos juros acumulados desde o início do fluxo de caixa até a parcela de número
?
f) Qual é o valor das amortizações acumuladas no período anterior?
g) Qual é o valor dos juros acumulados num período que vai de
até
?
h) Qual é o valor das amortizações acumuladas no mesmo período anterior?
a) Qual é o valor da parcela
b) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número
c) Qual é o valor do juro incluído na parcela
d) Qual é o valor da importância amortizada (amortização) incluída na parcela de número
e) Qual é o valor dos juros acumulados desde o início do fluxo de caixa até a parcela de número
f) Qual é o valor das amortizações acumuladas no período anterior?
g) Qual é o valor dos juros acumulados num período que vai de
h) Qual é o valor das amortizações acumuladas no mesmo período anterior?
Passo 1
O enunciado e os dados importantes (vou listar exatamente o que foi dado e o que é pedido):
- Empréstimo inicial (principal):
. - Sistema de amortização: Sistema de Amortização Constante (SAC).
- Número total de prestações:
(mensais). - Taxa de juro nominal anual:
a.a. - Perguntas:
(a) Qual o valor da parcela?
(b) Qual o saldo devedor após o pagamento da parcela de número, se faltam ainda pagar parcelas?
(c) Qual o valor do juro incluído na parcela?
(d) Qual o valor da importância amortizada (amortização) incluída na parcela de número?
(e) Qual o valor dos juros acumulados desde o início do fluxo de caixa até a parcela de número?
(f) Qual o valor das amortizações acumuladas no período anterior (até)?
(g) Qual o valor dos juros acumulados num período que vai deaté ?
(h) Qual o valor das amortizações acumuladas no mesmo período anterior?
Observação sobre
: após pagar a parcela
faltam
parcelas. Sempre que eu usar fórmulas, explico o significado de cada termo.
Passo 2
Converter a taxa anual para taxa mensal (assumindo taxa nominal com capitalização mensal, que é o procedimento padrão aqui).
- A taxa anual é
a.a. Como são meses e a capitalização é mensal, a taxa mensal é
Explicação: dividimos a taxa anual por 12 porque a taxa informada é nominal anual com períodos mensais; em outras situações poderíamos usar a taxa efetiva, mas aqui o enunciado implícito é o caso mais comum (taxa nominal/12).
Passo 3
Característica do SAC e definição das quantidades que vamos usar.
- No SAC a amortização em cada parcela é constante. Denotando por
a amortização periódica:
Aqui:
Explicação didática: “amortização” é a parte da parcela que efetivamente reduz o saldo devedor do principal. No SAC essa parte é sempre fixa a cada pagamento.
- O juro pago na parcela de ordem
é calculado sobre o saldo devedor imediatamente antes do pagamento . Se é o saldo antes de pagar a -ésima parcela, então o juro dessa parcela é
- O saldo devedor antes de pagar a parcela
(ou seja, saldo após pagamentos) no SAC é
Consequentemente, o saldo devedor imediatamente depois de pagar a parcela
é
Observação: as parcelas pagas (valor total de cada parcela) são
Passo 4
Calcular passo a passo a parcela
(resposta do item a).
- Primeiro calcule o saldo antes da parcela
:
- Juro correspondente à parcela 12:
- Parcela total
:
Passo 5
Calcular o saldo devedor após o pagamento da parcela
(item b) e interpretar
.
- Saldo após pagar a parcela 5 é
:
- Número de parcelas restantes
é
Explicação: em SAC o saldo após
pagamentos é simplesmente o número de parcelas faltantes vezes
:
. Aqui
.
Passo 6
Calcular o juro incluído na parcela
(item c) e mostrar a amortização nessa parcela (item d).
- Saldo antes de pagar a parcela 5 é
:
- Juro na parcela 5:
- Amortização na parcela 5 (SAC = constante):
- Parcela 5 total seria
(apenas para checagem).
Passo 7
Calcular os juros acumulados desde o início até a parcela
(item e).
- Juros acumulados
. - Usando
,
- A soma
. Então
- Multiplicando por
:
Verificação numérica rápida (soma dos juros individuais):
.
Passo 8
Calcular as amortizações acumuladas até
(item f).
- Em SAC a amortização por parcela é constante
. Então a amortização acumulada nas primeiras 5 parcelas é
Observação: isso deve coincidir com a redução do saldo inicial até
:
.
Passo 9
Calcular os juros acumulados no período de
até
(item g). Interpretação usada: somar os juros das parcelas
(ou seja, de
a
inclusive). Se o enunciado quisesse outro intervalo (por exemplo de depois de 5 até 10) haveria diferença de um termo; aqui escolhi a interpretação inclusiva e explico porquê: segue a mesma lógica do item (e) que foi inclusivo até
.
- Número de parcelas neste intervalo:
e então são parcelas. - Soma dos juros:
onde fiz a mudança de índice
.
- Calcule a soma:
. - A soma
. Então
- Resultado:
Cheque rápido com juros individuais:
.
Passo 10
Calcular as amortizações acumuladas no mesmo período (item h), com a mesma interpretação inclusiva (parcelas 5 a 10).
- Em SAC cada parcela tem amortização
. - Número de parcelas no intervalo
a inclusive: . - Amortização acumulada:
Observação: se alguém pedisse o intervalo estrito (por exemplo das parcelas após 5 até 10), bastaria ajustar o número de parcelas (seriam 5 parcelas e total
) — aqui mantive a interpretação inclusiva para coerência com os itens anteriores.
Resposta
(a)
(b) (aqui
parcelas restantes)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)