Se z é um número complexo tal que o seu módulo e argumento principal são respectivamente iguais a 1 e \frac{\pi}{15} rad. Sabendo que a matriz quadrada M é definida
M=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & \frac{z^{2}+z-1}{z} & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & \frac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}} & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & \frac{z^{6}+z^{3}-1}{z^{3}} \end{array}\right|, \text { então o }ã
valor absoluto do det \left(2 \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{M}^{\top}\right) é igual a:
A) 1
B) 4
C) 8
D) 16
E) 64

Passo 1

O enunciado dá um número complexo z com módulo 1 e argumento principal \dfrac{\pi}{15}. Ou seja:
z = e^{i\theta},\qquad \theta=\dfrac{\pi}{15}.
Foi definida a matriz quadrada M (matriz 4\times4) cujos elementos são
M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & \dfrac{z^{2}+z-1}{z} & 1 & 1 \\\\ 1 & 1 & \dfrac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}} & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 & \dfrac{z^{6}+z^{3}-1}{z^{3}} \end{pmatrix}.
O que o problema pede: calcular o valor absoluto do determinante de 2\cdot M\cdot M^{\top}, isto é
\left|\det\!\big(2\,M\,M^{\top}\big)\right|.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • z=e^{i\pi/15} (logo |z|=1 e z^{-1}=\overline{z}=e^{-i\pi/15});
  • os elementos diagonais não-triviais de M podem ser simplificados dividindo os polinômios por potências de z.

Passo 2

Primeiro simplificar as entradas diagonais de M. Para cada diagonal, dividir por potência de z:
\frac{z^{2}+z-1}{z}=z+1-z^{-1}, \qquad \frac{z^{8}+z^{4}-1}{z^{4}}=z^{4}+1-z^{-4}, \qquad \frac{z^{6}+z^{3}-1}{z^{3}}=z^{3}+1-z^{-3}.
Definindo d_1=1,\; d_2=z+1-z^{-1},\; d_3=z^{4}+1-z^{-4},\; d_4=z^{3}+1-z^{-3}, podemos escrever a matriz explicitamente (fora da forma já dada).
É útil escrever M como soma de uma matriz diagonal com uma matriz de posto 1. Observe que
M=\bigl(\operatorname{diag}(d_1,d_2,d_3,d_4)-I\bigr) + J,
onde I é a identidade e J é a matriz de todas as entradas iguais a 1. Colocando
e_i = d_i-1,
temos
E=\operatorname{diag}(e_1,e_2,e_3,e_4) \quad\text{e}\quad M = E + J.
Calculando e_i:
e_1=0,\qquad e_2=z-z^{-1},\qquad e_3=z^{4}-z^{-4},\qquad e_4=z^{3}-z^{-3}.

Passo 3

Agora calcular \det(M). Uma operação simples facilita muito: subtrair a primeira linha de cada uma das linhas 2,3,4. Essa operação não altera o determinante. Após essa operação a matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & e_2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & e_3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & e_4 \end{pmatrix}.
Expansão por Laplace ao longo da primeira coluna mostra imediatamente que
\det(M)=1\cdot (e_2 e_3 e_4) = (z-z^{-1})(z^{4}-z^{-4})(z^{3}-z^{-3}).

Passo 4

Usar a forma trigonométrica de z. Como z=e^{i\theta} com \theta=\dfrac{\pi}{15}, vale
z^{k}-z^{-k} = e^{ik\theta}-e^{-ik\theta} = 2i\sin(k\theta).
Assim podemos escrever
\det(M) = (2i\sin\theta)\,(2i\sin 4\theta)\,(2i\sin 3\theta) = (2i)^3\sin\theta\sin 4\theta\sin 3\theta.
Calculando o fator complexo,
(2i)^3 = 8 i^3 = 8(-i) = -8i,
portanto
\det(M) = -8i\; \bigl(\sin\theta\sin 3\theta\sin 4\theta\bigr).

Passo 5

Queremos \left|\det\!\big(2\,M\,M^{\top}\big)\right|. Primeiro relacionar determinantes:
\det\!\big(2\,M\,M^{\top}\big) = 2^{4}\det(M\,M^{\top}) = 16\det(M)\det(M^{\top}).
Como \det(M^{\top})=\det(M) (determinante é invariante por transposição), temos
\det\!\big(2\,M\,M^{\top}\big) = 16\bigl(\det(M)\bigr)^{2}.
O valor absoluto é então
\left|\det\!\big(2\,M\,M^{\top}\big)\right| = 16\,\big|\det(M)\big|^{2}.

Passo 6

Calcular \big|\det(M)\big|^{2}. Da expressão do Passo 4:
\det(M) = -8i\;S,\qquad\text{onde } S=\sin\theta\sin 3\theta\sin 4\theta.
Assim
\big|\det(M)\big|^{2} = |-8i|^{2}\;S^{2} = 64\;S^{2},
pois |-8i|=8. Substituindo na expressão do passo anterior:
\left|\det\!\big(2\,M\,M^{\top}\big)\right| = 16\cdot 64\;S^{2} = 1024\;S^{2}.

Passo 7

Avaliar numericamente S=\sin(\pi/15)\sin(3\pi/15)\sin(4\pi/15). Usando \theta=\dfrac{\pi}{15} e valores trigonométricos:
\sin\theta=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{15}\right)\approx 0{,}2079116908,
\sin 3\theta=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{5}\right)=\sin 36^\circ\approx 0{,}5877852523,
\sin 4\theta=\sin\!\left(\tfrac{4\pi}{15}\right)\approx 0{,}7431448255.
Multiplicando:
S\approx 0{,}2079116908\cdot 0{,}5877852523\cdot 0{,}7431448255 \approx 0{,}09120428008.
Logo
S^{2}\approx 0{,}00831706174,
e portanto
1024\;S^{2}\approx 1024\cdot 0{,}00831706174 \approx 8{,}512.

Passo 8

Interpretação final e escolha entre as alternativas. O valor numérico obtido para \left|\det\!\big(2\,M\,M^{\top}\big)\right| é aproximadamente 8{,}512. Entre as alternativas fornecidas:
A) 1, B) 4, C) 8, D) 16, E) 64,
a que mais se aproxima é a alternativa C) 8. (Portanto a resposta que corresponde é 8.)

Resposta

C) 8

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