Uma empresa coletou os salários (em R$ mil) de 12 funcionários do setor administrativo:
2,0-2,5-3,0-3,5-4,0-4,0-4,5-5,0-5,5-6,0-6,5-7,0
a) Calcule o \mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2} (mediana) e \mathrm{Q}_{3}.
b) Interprete cada quartil em termos da distribuição dos salários.

Passo 1

O enunciado dá os salários (em R$ mil) de 12 funcionários, listados com separador -. Os dados fornecidos são, na ordem:
2,0,\;2,5,\;3,0,\;3,5,\;4,0,\;4,0,\;4,5,\;5,0,\;5,5,\;6,0,\;6,5,\;7,0.
O que a questão pede:
  • (a) Calcular \mathrm{Q}_1, \mathrm{Q}_2 (mediana) e \mathrm{Q}_3.
  • (b) Interpretar cada quartil em termos da distribuição dos salários.

Passo 2

O que são quartis e como vamos calcular (explicação didática passo a passo).
  • A mediana \mathrm{Q}_2 é o valor que separa a metade inferior da metade superior da amostra. Se o número de observações n for ímpar, a mediana é o valor central; se n for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais.
  • Os quartis dividem os dados em quatro partes iguais:
    • \mathrm{Q}_1 é o valor que separa os 25% menores dos 75% maiores.
    • \mathrm{Q}_3 é o valor que separa os 75% menores dos 25% maiores.
  • Procedimento prático (método escolhido): com n par, primeiro ordena-se os dados (já estão ordenados aqui). A mediana \mathrm{Q}_2 é a média dos valores nas posições n/2 e n/2+1. Para \mathrm{Q}_1 e \mathrm{Q}_3 usa-se a mediana da metade inferior e da metade superior, respectivamente. Este é o método clássico e simples, apropriado para provas de estatística introdutória.

Passo 3

Confirmando n e as posições dos dados.
  • Aqui n=12 (par).
  • Enumero as observações com suas posições 1 a 12: \begin{array}{cccccccccccc} \text{pos:} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\[4pt] \text{valor (R\$ mil):} & 2,0 & 2,5 & 3,0 & 3,5 & 4,0 & 4,0 & 4,5 & 5,0 & 5,5 & 6,0 & 6,5 & 7,0 \end{array}]

Passo 4

Calcular \mathrm{Q}_2 (mediana) passo a passo.
  • Como n=12 (par), as duas posições centrais são n/2=6 e n/2+1=7.
  • Os valores nessas posições são, da tabela: posição 6 \to 4,0 e posição 7 \to 4,5.
  • A mediana é a média aritmética desses dois valores: \mathrm{Q}_2=\frac{4,0+4,5}{2}=\frac{8,5}{2}=4,25.
  • Interpretação rápida (prévia): metade dos funcionários ganha até \,4,25 mil e metade ganha a partir de \,4,25 mil.

Passo 5

Calcular \mathrm{Q}_1 passo a passo.
  • Para n par, a metade inferior é formada pelas posições 1 a 6: 2,0,\;2,5,\;3,0,\;3,5,\;4,0,\;4,0.
  • Essa metade tem 6 observações; a mediana dessa metade (que é \mathrm{Q}_1) é a média dos valores nas posições 3 e 4 da amostra inteira (ou posições 3 e 4 dentro da metade inferior).
  • Valores: posição 3\to3,0 e posição 4\to3,5.
  • Compute: \mathrm{Q}_1=\frac{3,0+3,5}{2}=\frac{6,5}{2}=3,25.

Passo 6

Calcular \mathrm{Q}_3 passo a passo.
  • A metade superior é formada pelas posições 7 a 12: 4,5,\;5,0,\;5,5,\;6,0,\;6,5,\;7,0.
  • A mediana dessa metade (que é \mathrm{Q}_3) é a média dos valores nas posições 9 e 10 da amostra inteira (ou posições 3 e 4 dentro da metade superior).
  • Valores: posição 9\to5,5 e posição 10\to6,0.
  • Compute: \mathrm{Q}_3=\frac{5,5+6,0}{2}=\frac{11,5}{2}=5,75.

Passo 7

Interpretação dos quartis (resposta à parte b), com linguagem direta e útil para prova.
  • \mathrm{Q}_1=3,25 (R$mil): isto significa que 25% dos funcionários (ou seja, 3 em 12, aproximadamente) recebem até R$ 3{,}25 mil. Em outras palavras, um quarto dos salários está abaixo ou igual a R$ 3{,}25 mil.
  • \mathrm{Q}_2=4,25 (R$mil), a mediana: 50% dos funcionários ganham até R$ 4{,}25 mil e 50% ganham pelo menos R$ 4{,}25 mil. É o ponto central da distribuição.
  • \mathrm{Q}_3=5,75 (R$mil): 75% dos funcionários recebem até R$ 5{,}75 mil (ou, equivalentemente, 25% recebem mais que R$ 5{,}75 mil). Assim, três quartos dos salários estão abaixo ou igual a R$ 5{,}75 mil.

Resposta

\mathrm{Q}_1=3,25\\ \text{(R\$ mil)}
\mathrm{Q}_2=4,25\\ \text{(R\$ mil)}
\mathrm{Q}_3=5,75\\ \text{(R\$ mil)}

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