Visando melhorar a linha de produção de uma empresa, 15 indivíduos foram avaliados, medidos e entrevistados. Os dados obtidos são mostrados na tabela abaixo. Teste a diferença de tempo, a um nível de confiança de 95%, para:
a) Idade
b) Posição
c) Cor da camisa
d) Ferramenta usada
e) Identifique qual fator (idade/posição/cor/ferramenta) explica melhor a variabilidade do tempo de execução da atividade ( \mathrm{R}^{2} )
Indivíduo Tempo (s) Idade (Anos) Posição (S/E/D) Cor da camisa Ferramenta usada (P/F/A)
1 12 20 Sentado Azul Fenda
2 12 20 Em pé Vermelha Philips
3 15 20 Deitado Preta Philips
4 14 25 Sentado Azul Alicate
5 23 25 Em pé Azul Alicate
6 13 25 Deitado Vermelha Fenda
7 15 30 Sentado Preta Fenda
8 19 30 Em pé Cinza Alicate
9 18 30 Deitado Branca Philips
10 21 35 Sentado Branca Philips
11 18 35 Em pé Vermelha Philips
12 15 35 Deitado Cinza Fenda
13 20 40 Sentado Cinza Fenda
14 16 40 Em pé Branca Alicate
15 14 40 Deitado Preta Alicate

Passo 1

O enunciado dá o tempo de execução ( y) de 15 indivíduos e quatro fatores qualitativos: idade (5 níveis), posição (3 níveis), cor da camisa (5 níveis) e ferramenta (3 níveis). Vamos, para cada fator, aplicar um teste de ANOVA unidirecional ao nível de confiança de 95\%, isto é, \alpha=0,05. Em cada ANOVA calculamos:
  • Média de cada grupo \bar y_j e média geral \bar y.
  • Soma de quadrados total \mathrm{SST}=\sum_{i=1}^{15}(y_i-\bar y)^2
  • Soma de quadrados entre grupos \mathrm{SSB}=\sum_{j}n_j(\bar y_j-\bar y)^2
  • Soma de quadrados dentro dos grupos
    \mathrm{SSE}=\mathrm{SST}-\mathrm{SSB}.
  • Graus de liberdade: df_B=g-1, df_W=N-g.
  • Quadrados médios: \mathrm{MSB}=\mathrm{SSB}/df_B, \mathrm{MSE}=\mathrm{SSE}/df_W.
  • Estatística de teste: F=\frac{\mathrm{MSB}}{\mathrm{MSE}},
comparando com F_{\alpha,\,df_B,\,df_W}. Por fim, calculamos
R^2=\frac{\mathrm{SSB}}{\mathrm{SST}}
para ver qual fator explica melhor a variabilidade.

Passo 2

ANOVA para idade (5 níveis, n_j=3, N=15). Observamos:
\bar y_{20}=13,\;\bar y_{25}=16{,}667,\;\bar y_{30}=17{,}333,\;\bar y_{35}=18,\;\bar y_{40}=16{,}667 e \bar y=16{,}333.
Calcula-se:
\mathrm{SSB}_{\text{idade}} =3\sum_{j=1}^{5}(\bar y_j-\bar y)^2 =45{,}333, \quad \mathrm{SST}=157{,}333, \quad \mathrm{SSE}=112{,}000.
Graus de liberdade: df_B=4, df_W=10.
\mathrm{MSB}=11{,}333, \quad \mathrm{MSE}=11{,}200, \quad F=1{,}012.
Valor crítico F_{0{,}05;4,10}\approx3{,}48. Como F<F_{\text{crit}}, não rejeitamos H_0: sem diferença significativa entre as idades.

Passo 3

ANOVA para posição (3 níveis, n_j=5). Médias:
\bar y_{\text{sentado}}=16{,}4,\;\bar y_{\text{em pé}}=17{,}6,\;\bar y_{\text{deitado}}=15,\;\bar y=16{,}333é.
\mathrm{SSB}_{\text{pos}}=16{,}938, \quad \mathrm{SSE}=157{,}333-16{,}938=140{,}3958.
df_B=2, df_W=12,
\mathrm{MSB}=8{,}469, \quad \mathrm{MSE}=11{,}700, \quad F=0{,}724.
Valor crítico F_{0{,}05;2,12}\approx3{,}885. Como F<F_{\text{crit}}, sem diferença entre posições.

Passo 4

ANOVA para cor da camisa (5 níveis, n_j=3). Médias:
\bar y_{\text{Azul}}=16{,}333,\;\bar y_{\text{Vermelha}}=14{,}333,\;\bar y_{\text{Preta}}=14{,}667,\;\bar y_{\text{Cinza}}=18,\;\bar y_{\text{Branca}}=18{,}333,\;\bar y=16{,}333.
\mathrm{SSB}_{\text{cor}}=40{,}667, \quad \mathrm{SSE}=157{,}333-40{,}667=116{,}667.
df_B=4, df_W=10,
\mathrm{MSB}=10{,}167, \quad \mathrm{MSE}=11{,}667, \quad F=0{,}871.
F_{0{,}05;4,10}\approx3{,}48. Como F<F_{\text{crit}}, sem diferença entre cores.

Passo 5

ANOVA para ferramenta usada (3 níveis, n_j=5). Médias:
\bar y_{\text{Fenda}}=15,\;\bar y_{\text{Philips}}=16{,}8,\;\bar y_{\text{Alicate}}=17{,}2,\;\bar y=16{,}333.
\mathrm{SSB}_{\text{ferr}}=13{,}740, \quad \mathrm{SSE}=157{,}333-13{,}740=143{,}593.
df_B=2, df_W=12,
\mathrm{MSB}=6{,}870, \quad \mathrm{MSE}=11{,}966, \quad F=0{,}574.
F_{0{,}05;2,12}\approx3{,}885. Como F<F_{\text{crit}}, sem diferença entre ferramentas.

Passo 6

Cálculo de R^2_j=\mathrm{SSB}_j/\mathrm{SST} para cada fator:
R^2_{\text{idade}}=\frac{45{,}333}{157{,}333}=0{,}288, \quad R^2_{\text{posição}}=0{,}108, \quad R^2_{\text{cor}}=0{,}259, \quad R^2_{\text{ferr}}=0{,}087.çã
O maior R^2 é o da idade.

Resposta

(a) F<sub>calc</sub> =1{,}012, F _{0,05;4,10}\approx3{,}48, não rejeita H_0.
(b) F =0{,}724, F _{0,05;2,12}\approx3{,}885, não rejeita H_0.
(c) F =0{,}871, F _{0,05;4,10}\approx3{,}48, não rejeita H_0.
(d) F =0{,}574, F _{0,05;2,12}\approx3{,}885, não rejeita H_0.
(e) O fator idade tem o maior R^2=0{,}288 e, portanto, explica melhor a variabilidade do tempo.

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