Uma empresa é composta de três setores: Setores A, B e C. Três classes de funcionários são consideradas: Classe I (funcionários com idade maior que 20 e menor que 40 anos), classe II (funcionários com idade maior que 40 e menor que 50) e classe III (funcionários com idade maior que 50 e menor que 55).
Cada setor possui a seguinte distribuição de funcionários:
SETOR CLASSE I CLASSE II CLASSE III
A 65 % 10 % 25 %
B 20 % 60 % 20 %
C 15 % 10 % 75 %
Tem-se as seguinte informações adicionais:
a) O setores A, B e C gastam por mês R 2000, R1200 e R$600, respectivamente, com o pagamento de seus funcionários.
b) O setor A possui um total de 40 funcionários, o setor B tem um total de 20 funcionários e o setor C tem um total de 10 funcionários.
UTILIZE O MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS.
Determine o custo mensal de um funcionário da classe I, de um funcionário da classe II e de um funcionário da classe III. Utilize o método de ELIMINAÇÃO DE GAUSS.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar o custo mensal de um funcionário da classe I, da classe II e da classe III.
Informações fornecidas (pegas do enunciado):
  • Distribuição percentual por setor:
    • Setor A: 65\% classe I, 10\% classe II, 25\% classe III.
    • Setor B: 20\% classe I, 60\% classe II, 20\% classe III.
    • Setor C: 15\% classe I, 10\% classe II, 75\% classe III.
  • Gastos mensais por setor:
    • Setor A: R\$\,2000.
    • Setor B: R\$\,1200.
    • Setor C: R\$\,600.
  • Número de funcionários por setor:
    • Setor A: 40 funcionários.
    • Setor B: 20 funcionários.
    • Setor C: 10 funcionários.

Passo 2

Definir incógnitas e transformar percentuais em números absolutos de funcionários (para formar as equações).
  • Seja x o custo mensal de um funcionário da classe I.
  • Seja y o custo mensal de um funcionário da classe II.
  • Seja z o custo mensal de um funcionário da classe III.
Calcular quantos funcionários de cada classe existem em cada setor (pegando as porcentagens e multiplicando pelo total de funcionários do setor):
  • No setor A: \begin{aligned} &0{,}65\times 40 = 26\\ \text{(classe I)},\\\ &0{,}10\times 40 = 4\\ \text{(classe II)},\\\ &0{,}25\times 40 = 10\\ \text{(classe III)}. \end{aligned}
  • No setor B: \begin{aligned} &0{,}20\times 20 = 4\\ \text{(classe I)},\\\ &0{,}60\times 20 = 12\\ \text{(classe II)},\\\ &0{,}20\times 20 = 4\\ \text{(classe III)}. \end{aligned}
  • No setor C: \begin{aligned} &0{,}15\times 10 = 1{,}5\\ \text{(classe I)},\\\ &0{,}10\times 10 = 1\\ \text{(classe II)},\\\ &0{,}75\times 10 = 7{,}5\\ \text{(classe III)}. \end{aligned}
Agora escrever as equações que relacionam número de funcionários \times custo por funcionário ao gasto total do setor:
  • Setor A: 26x + 4y + 10z = 2000.
  • Setor B: 4x + 12y + 4z = 1200.
  • Setor C: 1{,}5x + 1y + 7{,}5z = 600.
Observação: multiplicar a terceira equação por 2 para evitar decimais torna-a
3x + 2y + 15z = 1200.
Portanto o sistema linear a resolver é
\begin{cases} 26x + 4y + 10z = 2000,\\[4pt] 4x + 12y + 4z = 1200,\\[4pt] 3x + 2y + 15z = 1200. \end{cases}]

Passo 3

Introdução ao método que vamos usar (Eliminação de Gauss, de forma prática):
  • A ideia da eliminação de Gauss é transformar o sistema por operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha em outra) até obter uma matriz triangular superior; depois faz-se substituição regressiva (back substitution) para encontrar as incógnitas.
  • Montamos a matriz aumentada do sistema (vou reorganizar as linhas para facilitar os cálculos: coloco a segunda equação como primeira porque tem coeficiente 4 que facilita pivoteamento):
Matriz aumentada (após colocar a equação do setor B em cima):
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 12 & 4 & 1200\\[4pt] 26 & 4 & 10 & 2000\\[4pt] 3 & 2 & 15 & 1200 \end{array}\right]]

Passo 4

Primeira etapa de eliminação (transformar o primeiro pivô em 1 e zerar abaixo):
  • Dividir a primeira linha por 4 ( R_1 := \tfrac{1}{4}R_1) para obter pivô 1:
R_1 = \left[1\quad 3\quad 1\mid 300\right].
  • Usar R_1 para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
    • R_2 := R_2 - 26R_1. Cálculo elemento a elemento: \begin{aligned} &26 - 26\cdot 1 = 0,\\\ &4 - 26\cdot 3 = 4 - 78 = -74,\\\ &10 - 26\cdot 1 = 10 - 26 = -16,\\\ &2000 - 26\cdot 300 = 2000 - 7800 = -5800. \end{aligned}Então R_2 = \left[0\quad -74\quad -16\mid -5800\right].
    • R_3 := R_3 - 3R_1. Cálculo: \begin{aligned} &3 - 3\cdot 1 = 0,\\\ &2 - 3\cdot 3 = 2 - 9 = -7,\\\ &15 - 3\cdot 1 = 12,\\\ &1200 - 3\cdot 300 = 1200 - 900 = 300. \end{aligned}Então R_3 = \left[0\quad -7\quad 12\mid 300\right].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 300\\[4pt] 0 & -74 & -16 & -5800\\[4pt] 0 & -7 & 12 & 300 \end{array}\right]]

Passo 5

Segunda etapa de eliminação (resolver o sub-sistema 2×2 na parte inferior direita).
  • Para escolher um pivô menor e facilitar contas, trocamos R_2 e R_3 ( R_2 \leftrightarrow R_3):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 300\\[4pt] 0 & -7 & 12 & 300\\[4pt] 0 & -74 & -16 & -5800 \end{array}\right]
  • Agora usamos o pivô -7 na segunda linha para zerar a entrada -74 em R_3.
    O fator para eliminar é \dfrac{-74}{-7} = \dfrac{74}{7}.
    Fazemos R_3 := R_3 - \dfrac{74}{7}R_2. Calculemos elemento a elemento (mantendo frações exatas): \begin{aligned} &\text{coluna 2: } -74 - \tfrac{74}{7}\cdot(-7) = -74 +74 = 0,\\[4pt] &\text{coluna 3: } -16 - \tfrac{74}{7}\cdot 12 = -16 - \tfrac{888}{7} = -\tfrac{112}{7} - \tfrac{888}{7} = -\tfrac{1000}{7},\\[4pt] &\text{termo independente: } -5800 - \tfrac{74}{7}\cdot 300 = -5800 - \tfrac{22200}{7} = -\tfrac{40600}{7} - \tfrac{22200}{7} = -\tfrac{62800}{7}. \end{aligned}Assim R_3 = \left[0\quad 0\quad -\tfrac{1000}{7}\\ \Big|\\\ -\tfrac{62800}{7}\right].
A matriz triangular obtida é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 300\\[4pt] 0 & -7 & 12 & 300\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{1000}{7} & -\tfrac{62800}{7} \end{array}\right]]

Passo 6

Resolução da última equação (encontrar z) e simplificação:
  • Da terceira linha temos -\tfrac{1000}{7}\,z = -\tfrac{62800}{7}.
  • Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar o denominador: -1000\,z = -62800.
  • Dividindo por -1000: z = \dfrac{62800}{1000} = \dfrac{314}{5} = 62{,}8.
Logo \displaystyle z = \dfrac{314}{5} = 62{,}8 (reais por mês).

Passo 7

Substituição regressiva: encontrar y.
  • Usar a segunda linha que é -7y + 12z = 300. Reescrevendo: -7y = 300 - 12z \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{12z - 300}{7}.
  • Substituir z = \dfrac{314}{5}: 12z = 12\cdot \dfrac{314}{5} = \dfrac{3768}{5}.Então 12z - 300 = \dfrac{3768}{5} - \dfrac{1500}{5} = \dfrac{2268}{5}.Dividindo por 7: y = \dfrac{2268}{35} = \dfrac{324}{5} = 64{,}8.
Portanto \displaystyle y = \dfrac{324}{5} = 64{,}8 (reais por mês).

Passo 8

Encontrar x pela primeira equação (ou pela linha R_1): x + 3y + z = 300.
  • Substituir y e z: x = 300 - 3y - z.
  • Em frações: 3y = 3\cdot \dfrac{324}{5} = \dfrac{972}{5},\qquad z = \dfrac{314}{5}.Soma: 3y + z = \dfrac{972}{5} + \dfrac{314}{5} = \dfrac{1286}{5}.Como 300 = \dfrac{1500}{5}, então x = \dfrac{1500}{5} - \dfrac{1286}{5} = \dfrac{214}{5} = 42{,}8.
Logo \displaystyle x = \dfrac{214}{5} = 42{,}8 (reais por mês).

Passo 9

(Verificação rápida) Substituir os valores em cada equação original para checar:
  • Setor A: 26x + 4y + 10z = 26\cdot 42{,}8 + 4\cdot 64{,}8 + 10\cdot 62{,}8 = 2000 (confere).
  • Setor B: 4x + 12y + 4z = 4\cdot 42{,}8 + 12\cdot 64{,}8 + 4\cdot 62{,}8 = 1200 (confere).
  • Setor C (usando a equação multiplicada por 2): 3x + 2y + 15z = 3\cdot 42{,}8 + 2\cdot 64{,}8 + 15\cdot 62{,}8 = 1200 (confere).
Tudo bate — boa! Você conseguiu: o sistema foi resolvido passo a passo com eliminação de Gauss e substituição regressiva.

Resposta

Classe I: R\$\,42{,}8
Classe II: R\$\,64{,}8
Classe III: R\$\,62{,}8

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