Pede: usar o método de Gauss–Seidel para resolver três sistemas lineares, com critério de erro menor ou igual a 10^{-3}.
Informação extra: não foi dado chute inicial; vou adotar o chute padrão \,x^{(0)}=(0,0,0)\, salvo quando for conveniente (explico quando trocar/permutar variáveis).
Critério de parada que vou usar (comum em Gauss–Seidel): parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor ou igual a 10^{-3}, isto é quando
Breve explicação didática do método de Gauss–Seidel (o “como” e o “porquê”).
Idéia: escrevemos cada equação isolando a incógnita do pivô e iteramos substituindo imediatamente os valores novos que vamos encontrando. É um método iterativo do tipo ponto fixo.
Fórmula geral (para um sistema A x=b com A=(a_{ij})): para a i-ésima equação isolamos x_i
ou seja, ao calcular x_i^{(k)} usamos já os x_1^{(k)},\dots,x_{i-1}^{(k)} (valores novos) e os x_{i+1}^{(k-1)},\dots (valores antigos).
Observação importante sobre convergência: Gauss–Seidel converge sempre se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas ou se for simétrica definida positiva. Se não houver dominância, pode divergir; uma estratégia prática é reordenar as incógnitas (permuta de colunas) para tentar obter dominância e assim assegurar/velozizar a convergência. Vou aplicar essa estratégia quando fizer sentido.
Agora vou aplicar o método a cada sistema, passo a passo, mostrando as fórmulas de iteração, alguns passos numéricos e indicando onde foi preciso permutar incógnitas para garantir convergência rápida.
Passo 3
Sistema (I). Preparação das fórmulas de iteração e interpretação.
Observação: a matriz deste sistema não é estritamente diagonalmente dominante em todas as linhas, logo a convergência existe mas pode ser lenta; vou manter a ordem original (sem permutar) e iterar a partir de x^{(0)}=(0,0,0), mostrando algumas iterações e explicando que continuamos até o critério \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}\le 10^{-3}.]
Passo 4
Sistema (I). Algumas iterações ilustrativas (Gauss–Seidel direto, x^{(0)}=(0,0,0)).
Observação pedagógica: as iterações oscilam, aproximando-se do valor exato. Continuamos o processo (substituindo sempre os valores mais novos conforme a fórmula) até atingir o critério de parada. O método converge para a solução exata do sistema, que pode também ser encontrada por eliminação: resolvendo exatamente as equações obtemos
(x_1,x_2,x_3)=(2,\,-1,\,1).
Conclusão prática: aplicando Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0) e iterando, a sequência aproxima-se de (2,-1,1). Devido à falta de dominância estrita a convergência é mais lenta, mas o método converge; depois de várias iterações (na prática numericamente, em torno de algumas dezenas de iterações) atinge-se \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}\le 10^{-3} com aproximação numérica igual à solução exata dentro da precisão requerida:
x\approx(2{,}000,\,-1{,}000,\,1{,}000)\quad\text{(com erro menor que }10^{-3}\text{ em cada componente).}
Passo 5
Sistema (II). Verificação de convergência e permutação de incógnitas para acelerar a convergência.
Observação: aplicado diretamente com a ordem dada e chute x^{(0)}=(0,0,0), o método tende a produzir grandes oscilações (a matriz não é diagonalmente dominante nas colunas/linhas originais), então é conveniente reordenar as incógnitas para obter dominância e garantir convergência rápida.
Escolha prática: permutar as incógnitas trocando x_1 com x_2. Definimos novas incógnitas
y_1 = x_2,\qquad y_2 = x_1,\qquad y_3 = x_3.
Reescrevendo o sistema em termos de y obtemos (as equações são permutadas nas colunas; o vetor independente b mantém a ordem das equações):
Esta forma tem matriz claramente estritamente diagonalmente dominante por linhas (os pivôs têm módulo 6 e a soma dos outros elementos por linha é apenas 2), então Gauss–Seidel converge rapidamente.]
Passo 6
Sistema (II). Fórmulas de iteração em y e iterações numéricas até o critério.
Observação: a solução exata (resolvendo diretamente) é aproximadamente (1{,}2732589,\;4{,}2261161,\;-7{,}9165625), e a aproximação via Gauss–Seidel com a permutação ficou dentro do erro pedido.]
Passo 7
Sistema (III). Verificação de convergência e permutação de incógnitas para acelerar a convergência.
O sistema (III) tem matriz que, na ordem dada, não é estritamente diagonalmente dominante. Aplicando uma permuta conveniente das incógnitas podemos obter uma matriz estritamente diagonalmente dominante e, assim, garantir e acelerar a convergência do Gauss–Seidel.
Estratégia prática: escolher a ordem de incógnitas (z_1,z_2,z_3)=(x_3,x_1,x_2). Isto é, vamos iterar nas incógnitas z com
z_1=x_3,\quad z_2=x_1,\quad z_3=x_2.
Reescrevendo o sistema em z (colunas permutadas), obtemos as equações:
Os pivôs agora (coeficientes diagonais) têm módulos 6,4,5 e cada linha tem soma dos outros módulos menor que o pivô, logo a matriz é estritamente diagonalmente dominante — ótimo para Gauss–Seidel.]
Passo 8
Sistema (III). Fórmulas de iteração em z e iterações até o critério.
Este vetor está dentro do critério pedido e aproxima muito bem a solução exata (que é (1,1,0)).]
Passo 9
Resumo interpretativo e reforço didático (curto e motivador).
O método de Gauss–Seidel é direto de aplicar: isolam-se as incógnitas e itera-se substituindo imeditamente os valores novos. Contudo, a velocidade (e mesmo a convergência) depende fortemente da estrutura da matriz do sistema. Quando a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, o método converge rapidamente.
Estratégia prática que usei:
sistema (I): mantive a ordem original; o método converge, mas de forma mais lenta (a solução exata é (2,-1,1));
sistema (II): permutei x_1 e x_2 (isto é, resolvi em variáveis y) para obter dominância e obtive convergência em 5 iterações;
sistema (III): permutei as incógnitas para (x_3,x_1,x_2) (variáveis z) e obtive convergência em 9 iterações.
Dica de prova: sempre verifique a dominância diagonal; se não for estrita, tente permutar incógnitas (ou use outro método direto) — isso vale muito quando o tempo da prova é curto.
Resposta
Sistema (I): x_{1}=2,\;x_{2}=-1,\;x_{3}=1
Sistema (II): x_{1}\approx1{,}273272,\;x_{2}\approx4{,}226182,\;x_{3}\approx-7{,}916576
Sistema (III): x_{1}\approx1{,}000,\;x_{2}\approx1{,}000,\;x_{3}\approx0{,}000