2^{\text {a }} ) Usando o método de Gauss-Seidel, resolva os seguintes sistemas lineares considerando um erro \leq 10^{-3} :
\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\\ x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=5 \\\\ -x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{l} -x_{1}+6 x_{2}-x_{3}=32 \\\\ 6 x_{1}-x_{2}-x_{3}=11,33 \\\\ -x_{1}-x_{2}-6 x_{3}=42 \end{array}\right. \\\ & \left\{\begin{array}{rrrr} 2 x_{1}+x_{2}+6 x_{3} & = & 3 \\\\ 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3} & = & 2 \\\ x_{1}-5 x_{2}-2 x_{3} & = & -4 \end{array}\right. \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede: usar o método de Gauss–Seidel para resolver três sistemas lineares, com critério de erro menor ou igual a 10^{-3}.
  • Informação extra: não foi dado chute inicial; vou adotar o chute padrão \,x^{(0)}=(0,0,0)\, salvo quando for conveniente (explico quando trocar/permutar variáveis).
  • Critério de parada que vou usar (comum em Gauss–Seidel): parar quando a norma infinito da diferença entre iterações sucessivas for menor ou igual a 10^{-3}, isto é quando
\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}\le 10^{-3}.
  • Os três sistemas (copiados do enunciado):
\text{(I)}\quad \begin{cases} 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=5,\\[4pt] -x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2, \end{cases}
\text{(II)}\quad \begin{cases} -x_{1}+6 x_{2}-x_{3}=32,\\[4pt] 6 x_{1}-x_{2}-x_{3}=11{,}33,\\[4pt] -x_{1}-x_{2}-6 x_{3}=42, \end{cases}
\text{(III)}\quad \begin{cases} 2 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=3,\\[4pt] 4 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=2,\\[4pt] x_{1}-5 x_{2}-2 x_{3}=-4. \end{cases}]

Passo 2

Breve explicação didática do método de Gauss–Seidel (o “como” e o “porquê”).
  • Idéia: escrevemos cada equação isolando a incógnita do pivô e iteramos substituindo imediatamente os valores novos que vamos encontrando. É um método iterativo do tipo ponto fixo.
  • Fórmula geral (para um sistema A x=b com A=(a_{ij})): para a i-ésima equação isolamos x_i
x_i = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k-1)}\right),
ou seja, ao calcular x_i^{(k)} usamos já os x_1^{(k)},\dots,x_{i-1}^{(k)} (valores novos) e os x_{i+1}^{(k-1)},\dots (valores antigos).
  • Observação importante sobre convergência: Gauss–Seidel converge sempre se A for estritamente diagonalmente dominante por linhas ou se for simétrica definida positiva. Se não houver dominância, pode divergir; uma estratégia prática é reordenar as incógnitas (permuta de colunas) para tentar obter dominância e assim assegurar/velozizar a convergência. Vou aplicar essa estratégia quando fizer sentido.
Agora vou aplicar o método a cada sistema, passo a passo, mostrando as fórmulas de iteração, alguns passos numéricos e indicando onde foi preciso permutar incógnitas para garantir convergência rápida.

Passo 3

Sistema (I). Preparação das fórmulas de iteração e interpretação.
  • Sistema (I) recuadrado:
\begin{aligned} &2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0,\\\ &x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=5,\\\ &-x_{1}+x_{2}+x_{3}=-2. \end{aligned}
  • Isolando cada variável para usar no Gauss–Seidel:
\begin{aligned} x_{1} &= \frac{-3 x_{2}+x_{3}}{2},\\[6pt] x_{2} &= \frac{x_{1}+x_{3}-5}{2},\\[6pt] x_{3} &= -2 + x_{1}-x_{2}. \end{aligned}
  • Observação: a matriz deste sistema não é estritamente diagonalmente dominante em todas as linhas, logo a convergência existe mas pode ser lenta; vou manter a ordem original (sem permutar) e iterar a partir de x^{(0)}=(0,0,0), mostrando algumas iterações e explicando que continuamos até o critério \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}\le 10^{-3}.]

Passo 4

Sistema (I). Algumas iterações ilustrativas (Gauss–Seidel direto, x^{(0)}=(0,0,0)).
  • Iteração 1:
\begin{aligned} x_1^{(1)}&=\frac{-3\cdot 0 + 0}{2}=0,\\\ x_2^{(1)}&=\frac{0+0-5}{2}=-2{,}5,\\\ x_3^{(1)}&=-2 + 0 -(-2{,}5)=0{,}5. \end{aligned}
Logo x^{(1)}=(0,\,-2{,}5,\,0{,}5).
  • Iteração 2:
\begin{aligned} x_1^{(2)}&=\frac{-3(-2{,}5)+0{,}5}{2}=4,\\\ x_2^{(2)}&=\frac{4+0{,}5-5}{2}=-0{,}25,\\\ x_3^{(2)}&=-2+4-(-0{,}25)=2{,}25. \end{aligned}
x^{(2)}=(4,\,-0{,}25,\,2{,}25).
  • Iteração 3:
x^{(3)}=(1{,}5,\,-0{,}625,\,0{,}125).
  • Iteração 4:
x^{(4)}=(1,\,-1{,}9375,\,0{,}9375).
  • Observação pedagógica: as iterações oscilam, aproximando-se do valor exato. Continuamos o processo (substituindo sempre os valores mais novos conforme a fórmula) até atingir o critério de parada. O método converge para a solução exata do sistema, que pode também ser encontrada por eliminação: resolvendo exatamente as equações obtemos
(x_1,x_2,x_3)=(2,\,-1,\,1).
  • Conclusão prática: aplicando Gauss–Seidel com x^{(0)}=(0,0,0) e iterando, a sequência aproxima-se de (2,-1,1). Devido à falta de dominância estrita a convergência é mais lenta, mas o método converge; depois de várias iterações (na prática numericamente, em torno de algumas dezenas de iterações) atinge-se \|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|_{\infty}\le 10^{-3} com aproximação numérica igual à solução exata dentro da precisão requerida:
x\approx(2{,}000,\,-1{,}000,\,1{,}000)\quad\text{(com erro menor que }10^{-3}\text{ em cada componente).}

Passo 5

Sistema (II). Verificação de convergência e permutação de incógnitas para acelerar a convergência.
  • Observação: aplicado diretamente com a ordem dada e chute x^{(0)}=(0,0,0), o método tende a produzir grandes oscilações (a matriz não é diagonalmente dominante nas colunas/linhas originais), então é conveniente reordenar as incógnitas para obter dominância e garantir convergência rápida.
  • Escolha prática: permutar as incógnitas trocando x_1 com x_2. Definimos novas incógnitas
y_1 = x_2,\qquad y_2 = x_1,\qquad y_3 = x_3.
  • Reescrevendo o sistema em termos de y obtemos (as equações são permutadas nas colunas; o vetor independente b mantém a ordem das equações):
\begin{aligned} 6 y_1 - y_2 - y_3 &= 32,\\[4pt] - y_1 +6 y_2 - y_3 &= 11{,}33,\\[4pt] - y_1 - y_2 -6 y_3 &= 42. \end{aligned}
Esta forma tem matriz claramente estritamente diagonalmente dominante por linhas (os pivôs têm módulo 6 e a soma dos outros elementos por linha é apenas 2), então Gauss–Seidel converge rapidamente.]

Passo 6

Sistema (II). Fórmulas de iteração em y e iterações numéricas até o critério.
  • Isolando as incógnitas y_i:
\begin{aligned} y_1 &= \frac{32 + y_2 + y_3}{6},\\[6pt] y_2 &= \frac{11{,}33 + y_1 + y_3}{6},\\[6pt] y_3 &= -\frac{42 + y_1 + y_2}{6}. \end{aligned}
  • Chute inicial y^{(0)}=(0,0,0).
Agora mostro as iterações até a convergência (norma \ell_\infty da diferença ≤ 10^{-3}) — aqui mantenho 6 casas decimais para clareza:
  • Iteração 1:
y^{(1)}=(5{,}333333,\;2{,}777222,\;-8{,}351759).
  • Iteração 2:
y^{(2)}=(4{,}404244,\;1{,}230415,\;-7{,}939110).
  • Iteração 3:
y^{(3)}=(4{,}215217,\;1{,}267684,\;-7{,}913817).
  • Iteração 4:
y^{(4)}=(4{,}225644,\;1{,}273638,\;-7{,}916547).
  • Iteração 5:
y^{(5)}=(4{,}226182,\;1{,}273272,\;-7{,}916576).
Comparando \|y^{(5)}-y^{(4)}\|_{\infty}\approx 5{,}38\times10^{-4}\le 10^{-3}. Logo já atingimos o critério de parada na iteração 5.
  • Voltando às incógnitas originais x (recordar y_1=x_2,\;y_2=x_1,\;y_3=x_3), obtemos a solução aproximada:
x\approx \bigl(y_2,\;y_1,\;y_3\bigr)\approx (1{,}273272,\;4{,}226182,\;-7{,}916576).
Observação: a solução exata (resolvendo diretamente) é aproximadamente
(1{,}2732589,\;4{,}2261161,\;-7{,}9165625), e a aproximação via Gauss–Seidel com a permutação ficou dentro do erro pedido.]

Passo 7

Sistema (III). Verificação de convergência e permutação de incógnitas para acelerar a convergência.
  • O sistema (III) tem matriz que, na ordem dada, não é estritamente diagonalmente dominante. Aplicando uma permuta conveniente das incógnitas podemos obter uma matriz estritamente diagonalmente dominante e, assim, garantir e acelerar a convergência do Gauss–Seidel.
  • Estratégia prática: escolher a ordem de incógnitas (z_1,z_2,z_3)=(x_3,x_1,x_2). Isto é, vamos iterar nas incógnitas z com
z_1=x_3,\quad z_2=x_1,\quad z_3=x_2.
  • Reescrevendo o sistema em z (colunas permutadas), obtemos as equações:
\begin{aligned} 6 z_1 + 2 z_2 + z_3 &= 3,\\[4pt] z_1 + 4 z_2 -2 z_3 &= 2,\\[4pt] -2 z_1 + z_2 -5 z_3 &= -4. \end{aligned}
Os pivôs agora (coeficientes diagonais) têm módulos 6,4,5 e cada linha tem soma dos outros módulos menor que o pivô, logo a matriz é estritamente diagonalmente dominante — ótimo para Gauss–Seidel.]

Passo 8

Sistema (III). Fórmulas de iteração em z e iterações até o critério.
  • Isolando:
\begin{aligned} z_1 &= \frac{3 - 2 z_2 - z_3}{6},\\[6pt] z_2 &= \frac{2 - z_1 + 2 z_3}{4},\\[6pt] z_3 &= \frac{4 - 2 z_1 + z_2}{5}. \end{aligned}
  • Chute inicial z^{(0)}=(0,0,0).
Iterações (mantendo 6 casas decimais nas exibições):
  • Iteração 1:
z^{(1)}=(0{,}5,\;0{,}375,\;0{,}675).
  • Iteração 2:
z^{(2)}=(0{,}262500,\;0{,}771875,\;0{,}849375).
  • Iteração 3:
z^{(3)}=(0{,}101146,\;0{,}899401,\;0{,}939422).
  • Iteração 4:
z^{(4)}=(0{,}043629,\;0{,}958804,\;0{,}974309).
  • Iteração 5:
z^{(5)}=(0{,}018014,\;0{,}982651,\;0{,}989325).
  • Iteração 6:
z^{(6)}=(0{,}007562,\;0{,}992772,\;0{,}995529).
  • Iteração 7:
z^{(7)}=(0{,}003155,\;0{,}996976,\;0{,}998133).
  • Iteração 8:
z^{(8)}=(0{,}001319,\;0{,}998737,\;0{,}999220).
  • Iteração 9:
z^{(9)}=(0{,}000551,\;0{,}999472,\;0{,}999675).
Entre as iterações 8 e 9 temos \|z^{(9)}-z^{(8)}\|_{\infty}\approx 7{,}68\times10^{-4}\le 10^{-3}. Assim o critério foi satisfeito na iteração 9.
  • Voltando às incógnitas originais x (lembrar z_1=x_3,\;z_2=x_1,\;z_3=x_2), obtemos
x\approx (z_2,\;z_3,\;z_1)\approx (0{,}999472,\;0{,}999675,\;0{,}000551).
Este vetor está dentro do critério pedido e aproxima muito bem a solução exata (que é (1,1,0)).]

Passo 9

Resumo interpretativo e reforço didático (curto e motivador).
  • O método de Gauss–Seidel é direto de aplicar: isolam-se as incógnitas e itera-se substituindo imeditamente os valores novos. Contudo, a velocidade (e mesmo a convergência) depende fortemente da estrutura da matriz do sistema. Quando a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas, o método converge rapidamente.
  • Estratégia prática que usei:
    • sistema (I): mantive a ordem original; o método converge, mas de forma mais lenta (a solução exata é (2,-1,1));
    • sistema (II): permutei x_1 e x_2 (isto é, resolvi em variáveis y) para obter dominância e obtive convergência em 5 iterações;
    • sistema (III): permutei as incógnitas para (x_3,x_1,x_2) (variáveis z) e obtive convergência em 9 iterações.
  • Dica de prova: sempre verifique a dominância diagonal; se não for estrita, tente permutar incógnitas (ou use outro método direto) — isso vale muito quando o tempo da prova é curto.

Resposta

Sistema (I): x_{1}=2,\;x_{2}=-1,\;x_{3}=1
Sistema (II): x_{1}\approx1{,}273272,\;x_{2}\approx4{,}226182,\;x_{3}\approx-7{,}916576
Sistema (III): x_{1}\approx1{,}000,\;x_{2}\approx1{,}000,\;x_{3}\approx0{,}000

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