O enunciado pede as mesmas quatro coisas: verificar simetria e positividade definida, resolver A x=b, calcular \det(A) e, se possível, A^{-1}.
Passo 2
Conceitos rápidos e úteis (mini-aula):
Uma matriz A é simétrica se A^T=A. Isto é, a_{ij}=a_{ji} para todos i,j.
Para verificar que A é definida positiva podemos usar o critério de Sylvester: A é definida positiva se e somente se todos os menores principais superiores (leading principal minors) têm determinantes positivos, isto é, \Delta_k=\det(A_{k})>0 para k=1,\dots,n, onde A_k é a submatriz formada pelas primeiras k linhas e colunas.
Se A é simétrica e definida positiva, existe fatoração de Cholesky A=L L^T com L triangular inferior. Então para resolver Ax=b podemos fazer L y=b (forward substitution) e depois L^T x = y (back substitution).
Determinante de A=L L^T é \det(A)=\det(L)^2. Se L tem diagonal fácil (por exemplo, todos uns), o determinante da A fica simples.
Para achar A^{-1} uma forma prática é resolver A X = I coluna a coluna: resolver Ax=e_j para j=1,\dots,n.
Passo 3
Item (i) — simetria e verificação de definida positividade
Simetria: Observa-se diretamente que a matriz é igual à sua transposta, pois os elementos na posição (i,j) e (j,i) coincidem. Logo A é simétrica.
Estrutura especial: nota-se que a_{ij}=\min(i,j). Esta é uma matriz bem conhecida (matriz de Gram / de integração discreta) e admite uma fatoração simples. Vou construir explicitamente L tal que A=L L^T.
Defina L como a matriz triangular inferior com todos os elementos iguais a 1 na região triangular inferior (incluindo diagonal), isto é
Verificação: para i\ge j temos (L L^T)_{ij}=\sum_{k=1}^{5} L_{ik}L_{jk}=\sum_{k=1}^{\min(i,j)}1=\min(i,j). Logo A=L L^T. Essa é exatamente uma fatoração de Cholesky (com L real).
Como A=L L^T com L invertível, A é definida positiva (todos os vetores x\neq0 têm x^T A x=\|L^T x\|^2>0). Mas também podemos checar Sylvester: os determinantes principais \Delta_k serão \det(L_k)^2 e como L_k tem todos 1 na diagonal, \det(L_k)=1, então \Delta_k=1>0 para todo k. Conclusão: A é simétrica definida positiva.
Passo 4
Item (i) — resolver [A x = b) usando A=L L^T
Resolvendo L y = b (forward substitution). Escrevo as equações do sistema L y=b. Como L tem estrutura de somas prefixas:
Determinante: como A=L L^T e \det(L)=1 (produto dos elementos da diagonal de L, todos iguais a 1), temos
\det(A)=\det(L)^2=1.
Inversa: podemos usar A^{-1}=L^{-T}L^{-1}. Primeiro note que L^{-1} é a matriz triangular inferior com 1 na diagonal e -1 na subdiagonal imediata, isto é, para i\ge1
\Delta_4=\det(A) (o menor principal de ordem 4). Vou calcular \det(A) fazendo eliminação Gaussiana preservando determinante (apenas usando operações do tipo R_i\leftarrow R_i-\lambda R_j que não alteram o determinante).
Matriz inicial e operações (mostrando passos chave):
Item (ii) — determinante (já encontrado) e cálculo de A^{-1}
Determinante: já obtivemos \det(A)=25\cdot1\cdot1\cdot9=225.
Cálculo de A^{-1} (método prático): resolvemos A x = e_j para j=1,\dots,4 usando exatamente as mesmas operações (as mesmas transformações que tornaram A em U). Vou apresentar rapidamente o procedimento e os resultados (cada coluna de A^{-1} é a solução do respectivo sistema).