Uma empresa comprou 30 resistores do fabricante 1 e outros 30 resistores do fabricante 2 . O fabricante 1 produz resistores com resistência média de 100 Omega e desvio-padrão de 1,5 Omega. O fabricante 2 produz resistores com resistência média de 105 Omega e desvio-padrão de 2 Omega. Sejam X1 e X2 as variáveis aleatórias que representam as resistências dos resistores dos fabricantes 1 e 2, respectivamente:
Qual a forma da distribuição barX1-barX2 ? (Dica: lembrar do Teorema Central do Limite)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde uma empresa comprou 30 resistores de dois fabricantes diferentes. O fabricante 1 tem uma resistência média de 100,Omega com desvio-padrão de 1,5,Omega, e o fabricante 2 tem uma resistência média de 105,Omega com desvio-padrão de 2,Omega. A pergunta é sobre a forma da distribuição da diferença das médias das resistências ( barX1 - barX2). Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite, que ajuda a entender como as médias de amostras se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Central do Limite (TCL). Ele diz que, quando temos uma amostra grande o suficiente (geralmente n >= 30 é um bom começo), a distribuição da média dessa amostra vai ser aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. No nosso caso, como temos 30 resistores de cada fabricante, podemos aplicar o TCL.

Passo 3

Agora, vamos considerar as médias das resistências de cada fabricante. A média da resistência do fabricante 1 é $ \mu_1 = 100,\Omega $ e o desvio-padrão é $ \sigma_1 = 1,5,\Omega $. Para uma amostra de 30 resistores, a distribuição da média $ \bar{X}_1 $ será normal com média $ \mu_1 $ e desvio-padrão $ \frac{\sigma_1}{\sqrt{n}} = \frac{1,5}{\sqrt{30}} $.

Passo 4

De forma similar, para o fabricante 2, a média da resistência é $ \mu_2 = 105,\Omega $ e o desvio-padrão é $ \sigma_2 = 2,\Omega $. A distribuição da média $ \bar{X}_2 $ será normal com média $ \mu_2 $ e desvio-padrão $ \frac{\sigma_2}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{30}} $.

Passo 5

Agora, queremos a distribuição da diferença das médias, $ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 $. Como $ \bar{X}_1 $ e $ \bar{X}_2 $ são independentes, a diferença também seguirá uma distribuição normal. A média dessa diferença será $ \mu_1 - \mu_2 = 100 - 105 = -5,\Omega $.

Passo 6

Para o desvio-padrão da diferença, usamos a fórmula para variância de variáveis independentes: $ Var(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = Var(\bar{X}_1) + Var(\bar{X}_2) $. Calculando:
Var(barX1 - barX2) = Var(barX1) + Var(barX2)
Var(barX1) = (1,5raiz30)^2 approx 0,0225
Var(barX2) = (2raiz30)^2 approx 0,04
Var(barX1 - barX2) = 0,0225 + 0,04 = 0,0625

Resposta

A distribuição $ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 $ é normal com média de barX1 - barX2 e desvio-padrão de -5,Omega.

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