Uma empresa comprou 30 resistores do fabricante 1 e outros 30 resistores do fabricante 2 . O fabricante 1 produz resistores com resistência média de
e desvio-padrão de
. O fabricante 2 produz resistores com resistência média de
e desvio-padrão de
. Sejam
e
as variáveis aleatórias que representam as resistências dos resistores dos fabricantes 1 e 2, respectivamente:
Qual a forma da distribuição
? (Dica: lembrar do Teorema Central do Limite)
Qual a forma da distribuição
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde uma empresa comprou 30 resistores de dois fabricantes diferentes. O fabricante 1 tem uma resistência média de
com desvio-padrão de
, e o fabricante 2 tem uma resistência média de
com desvio-padrão de
. A pergunta é sobre a forma da distribuição da diferença das médias das resistências (
). Para resolver isso, vamos usar o Teorema Central do Limite, que ajuda a entender como as médias de amostras se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema Central do Limite (TCL). Ele diz que, quando temos uma amostra grande o suficiente (geralmente
é um bom começo), a distribuição da média dessa amostra vai ser aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja normal. No nosso caso, como temos 30 resistores de cada fabricante, podemos aplicar o TCL.
Passo 3
Agora, vamos considerar as médias das resistências de cada fabricante. A média da resistência do fabricante 1 é $ \mu_1 = 100,\Omega $ e o desvio-padrão é $ \sigma_1 = 1,5,\Omega $. Para uma amostra de 30 resistores, a distribuição da média $ \bar{X}_1 $ será normal com média $ \mu_1 $ e desvio-padrão $ \frac{\sigma_1}{\sqrt{n}} = \frac{1,5}{\sqrt{30}} $.
Passo 4
De forma similar, para o fabricante 2, a média da resistência é $ \mu_2 = 105,\Omega $ e o desvio-padrão é $ \sigma_2 = 2,\Omega $. A distribuição da média $ \bar{X}_2 $ será normal com média $ \mu_2 $ e desvio-padrão $ \frac{\sigma_2}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{30}} $.
Passo 5
Agora, queremos a distribuição da diferença das médias, $ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 $. Como $ \bar{X}_1 $ e $ \bar{X}_2 $ são independentes, a diferença também seguirá uma distribuição normal. A média dessa diferença será $ \mu_1 - \mu_2 = 100 - 105 = -5,\Omega $.
Passo 6
Para o desvio-padrão da diferença, usamos a fórmula para variância de variáveis independentes: $ Var(\bar{X}_1 - \bar{X}_2) = Var(\bar{X}_1) + Var(\bar{X}_2) $. Calculando:
Resposta
A distribuição $ \bar{X}_1 - \bar{X}_2 $ é normal com média de
e desvio-padrão de
.