Um tubo de PVC é fabricado com um diâmetro médio de 1,010 cm e desvio-padrão de 0,003 cm, com distribuição normal. Calcule a probabilidade de a média dos diâmetros de uma amostra aleatória de n=9 seções ser maior que 1,009 cm e menor que 1,012 cm. (0,8185)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tubo de PVC com diâmetro médio de 1,010 cm e desvio-padrão de 0,003 cm, seguindo uma distribuição normal. A gente precisa descobrir a probabilidade de que a média dos diâmetros de uma amostra de 9 tubos seja maior que 1,009 cm e menor que 1,012 cm. Para isso, vamos usar conceitos de estatística como distribuição normal e distribuição da média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o desvio-padrão da média amostral, também conhecido como erro padrão da média. Ele mostra o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula é:
Erro Padrão = sigmaraizn ã
Onde:
  • sigma = 0,003 , cm (desvio-padrão da população)
  • n = 9 (tamanho da amostra)
Calculando:
Erro Padrão = 0,003raiz9 = 0,0033 = 0,001 , cm ã

Passo 3

Agora, vamos transformar os valores limites (1,009 cm e 1,012 cm) em escores z. O escore z nos diz quantos desvios-padrão um valor está distante da média. A fórmula é:
z = X - muErro Padrão ã
Onde:
  • X é o valor que queremos transformar
  • mu = 1,010 , cm (média da população)
Calculando para os dois limites:
Para X = 1,009 , cm:
z1 = 1,009 - 1,0100,001 = -0,0010,001 = -1
Para X = 1,012 , cm:
z2 = 1,012 - 1,0100,001 = 0,0020,001 = 2

Passo 4

Com os escores z encontrados (-1 e 2), vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes.
  • P(Z < 2) corresponde a aproximadamente 0,9772
  • P(Z < -1) corresponde a aproximadamente 0,1587
A probabilidade de estar entre esses dois valores é:
P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -1) = 0,9772 - 0,1587 = 0,8185

Resposta

A probabilidade é 0,8185.

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