Em uma granja foi observada a distribuição dos frangos em relação ao peso, que era a seguinte:
Peso (gramas) r|r hline Peso (gramas) & $ni$ hline $960 vdash-980$ & 60 $980 vdash-1.000$ & 160 $1.000 vdash-1.020$ & 280 $1.020 vdash-1.040$ & 260 $1.040 vdash-1.060$ & 160 $1.060 vdash-1.080$ & 80 hline
60
160
280
260
160
80
Qual a variância da distribuição?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra quantos frangos estão em cada faixa de peso na granja. O objetivo aqui é calcular a variância dessa distribuição de pesos. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de estatística, como média, desvio e soma de quadrados. Vamos passo a passo para não ficar confuso!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o ponto médio de cada intervalo de peso. O ponto médio é simplesmente a média entre o limite inferior e o limite superior de cada classe. Isso vai nos ajudar a representar cada faixa de peso por um único valor.
Vamos calcular:
  • Para o intervalo 960 – 980 gramas: Ponto Médio = 960 + 9802 = 970 gramas é
  • Repetindo esse cálculo para os outros intervalos:
980 vdash 1000 & Rightarrow 990 gramas 1000 vdash 1020 & Rightarrow 1010 gramas 1020 vdash 1040 & Rightarrow 1030 gramas 1040 vdash 1060 & Rightarrow 1050 gramas 1060 vdash 1080 & Rightarrow 1070 gramas

Passo 3

Agora que temos os pontos médios, vamos calcular a média (μ) da distribuição. A média é o valor típico que representa o conjunto de dados. Para dados agrupados, usamos a fórmula:
mu = sum (ni times xi)sum ni
Onde:
  • $ n_i $ é a frequência de cada classe.
  • $ x_i $ é o ponto médio de cada classe.
Vamos multiplicar cada ponto médio pela sua frequência e somar tudo:
ni
Somando esses valores:
xi
E a soma das frequências:
970 times 60 &= 58.200 990 times 160 &= 158.400 1010 times 280 &= 282.800 1030 times 260 &= 267.800 1050 times 160 &= 168.000 1070 times 80 &= 85.600
Então, a média é:
58.200 + 158.400 + 282.800 + 267.800 + 168.000 + 85.600 = 1.020.800

Passo 4

Agora que temos a média, vamos calcular a variância (σ²). A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Para dados agrupados, usamos a fórmula:
sigma^2 = sum [ni times (xi - mu)^2]sum ni
Vamos calcular $ (x_i - \mu)^2 $ para cada classe:
(xi - mu)^2
Elevando ao quadrado:
970 - 1.020,8 &= -50,8 990 - 1.020,8 &= -30,8 1010 - 1.020,8 &= -10,8 1030 - 1.020,8 &= 9,2 1050 - 1.020,8 &= 29,2 1070 - 1.020,8 &= 49,2
Multiplicando por $ n_i $:
(-50,8)^2 &= 2.580,64 (-30,8)^2 &= 948,64 (-10,8)^2 &= 116,64 9,2^2 &= 84,64 29,2^2 &= 852,64 49,2^2 &= 2.420,64
Somando esses valores:
ni

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a variância dividindo a soma que obtivemos pelo total de observações:
sigma^2 = 691.359,01.000 = 691,359 gramas^2

Resposta

A variância da distribuição é 691,359 gramas quadrados.

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