Encontre o máximo e mínimo da função
restrito à elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e queremos encontrar os valores máximo e mínimo dessa função, mas com uma condição: estamos restritos à elipse definida por
. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de otimização que envolve parametrizar a elipse e então encontrar os extremos da função dentro dessa restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a elipse. Uma elipse com a equação
pode ser descrita usando um ângulo
da seguinte forma:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 3
Agora, vamos substituir essas expressões de
e
na função
:
Então, a função que precisamos maximizar e minimizar é
.
Passo 4
Para encontrar os máximos e mínimos de
, podemos usar uma identidade trigonométrica que combina os termos de seno e cosseno em uma única função cosseno deslocada:
onde:
No nosso caso,
e
, então:
Assim, podemos reescrever
:
Passo 5
Sabendo que a função
varia entre -1 e 1, o valor máximo de
será
(quando
) e o valor mínimo será
(quando
).
Resposta
O valor máximo de
na elipse é
e o valor mínimo é
.