Encontre o máximo e mínimo da função f(x, y)=x+y restrito à elipse x^24+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função f(x, y) = x + y e queremos encontrar os valores máximo e mínimo dessa função, mas com uma condição: estamos restritos à elipse definida por x^24 + y^2 = 1 . Para resolver isso, vamos usar uma técnica de otimização que envolve parametrizar a elipse e então encontrar os extremos da função dentro dessa restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a elipse. Uma elipse com a equação x^2a^2 + y^2b^2 = 1 pode ser descrita usando um ângulo theta da seguinte forma:
x = a cos(theta)
y = b sin(theta)
No nosso caso, a = 2 e b = 1 , então:
x = 2 cos(theta)
y = sin(theta)

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões de x e y na função f(x, y) :
f(x, y) = x + y = 2 cos(theta) + sin(theta)
Então, a função que precisamos maximizar e minimizar é f(theta) = 2 cos(theta) + sin(theta) .

Passo 4

Para encontrar os máximos e mínimos de f(theta) , podemos usar uma identidade trigonométrica que combina os termos de seno e cosseno em uma única função cosseno deslocada:
a cos(theta) + b sin(theta) = R cos(theta - phi)
onde:
R = raiza^2 + b^2 e phi = arctan(ba)
No nosso caso, a = 2 e b = 1 , então:
R = raiz2^2 + 1^2 = raiz5
phi = arctan(12)
Assim, podemos reescrever f(theta) :
f(theta) = raiz5 cos(theta - phi)

Passo 5

Sabendo que a função cos varia entre -1 e 1, o valor máximo de f(theta) será raiz5 (quando cos(theta - phi) = 1 ) e o valor mínimo será -raiz5 (quando cos(theta - phi) = -1 ).

Resposta

O valor máximo de f(x, y) = x + y na elipse é raiz5 e o valor mínimo é -raiz5 .

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