Sejam a e b dois números inteiros não-nulos. Demonstrar que:
Se c é um múltiplo comum de a e b, então: m m c(a, b) \mid c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a e b inteiros não-nulos, se c é múltiplo comum de a e b então o mínimo múltiplo comum de a e b (denotado por \mathrm{mmc}(a,b)) divide c. O conteúdo aqui é divisibilidade e propriedades de máximo divisor comum (MDC) e mínimo múltiplo comum (MMC).

Passo 2

Seja d = \gcd(a,b). Pela definição de MDC existem inteiros a' e b' tais que
a = d\,a', \quad b = d\,b', \quad \gcd(a',b') = 1.
Além disso, pela definição de MMC temos
\mathrm{mmc}(a,b) = \frac{a\,b}{\gcd(a,b)} = \frac{(d\,a')(d\,b')}{d} = d\,a'\,b'.

Passo 3

Como c é múltiplo comum de a e b, existem inteiros s e t tais que
c = a\,s = d\,a'\,s, \qquad c = b\,t = d\,b'\,t.
Das duas expressões, em particular d\,b' divide d\,a'\,s, logo b' divide a'\,s. Mas \gcd(a',b')=1, então b' divide s. Assim existe inteiro u com
s = b'\,u.

Passo 4

Substituindo s = b'u em c = d\,a'\,s, obtemos
c = d\,a'\,(b'\,u) = (d\,a'\,b')\,u = \mathrm{mmc}(a,b)\cdot u.
Portanto \mathrm{mmc}(a,b) divide c.

Resposta

Logo, se c é múltiplo comum de a e b, então
\mathrm{mmc}(a,b)\mid c.

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