Sejam
e
dois números inteiros não-nulos. Demonstrar que:
Se
é um múltiplo comum de
e
, então:
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
e
inteiros não-nulos, se
é múltiplo comum de
e
então o mínimo múltiplo comum de
e
(denotado por
) divide
. O conteúdo aqui é divisibilidade e propriedades de máximo divisor comum (MDC) e mínimo múltiplo comum (MMC).
Passo 2
Seja
. Pela definição de MDC existem inteiros
e
tais que
Além disso, pela definição de MMC temos
Passo 3
Como
é múltiplo comum de
e
, existem inteiros
e
tais que
Das duas expressões, em particular
divide
, logo
divide
. Mas
, então
divide
. Assim existe inteiro
com
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Portanto
divide
.
Resposta
Logo, se
é múltiplo comum de
e
, então