Uma pessoa deposita RS
mensalmente durante 24 meses a uma taxa de
ao mês. Determine o valor acumulado ao final do periodo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que é pedido e os dados):
- Depósito mensal (valor da prestação):
. - Número de depósitos (número de meses):
. - Taxa de juros mensal:
(na forma decimal).
O que o exercício pede: determinar o valor acumulado ao final do período (ou seja, o montante depois de 24 meses), supondo depósitos mensais.
Observação de interpretação (importante): vou assumir que cada depósito é feito ao final de cada mês (caso clássico). Se os depósitos forem feitos no início de cada mês o resultado seria ligeiramente maior (anuidade devida). Aqui usarei a fórmula da anuidade ordinária (depósitos no final do período).
Passo 2
Conceito e ideia do cálculo (aula rápida e explicada com calma):
- Cada depósito rende juros nos meses seguintes até o final do período. O último depósito (feito ao final do mês 24) não rende juros (rende 0 períodos), o depósito feito ao final do mês 23 rende juros por 1 mês, o feito ao final do mês 1 rende juros por 23 meses, etc.
- Isso leva a uma soma de termos com potências de
, que é uma progressão geométrica. - A fórmula para o valor futuro (montante) de uma anuidade ordinária (depósitos iguais
ao final de cada período, taxa por período , por períodos) é:
Explicação das variáveis nesta fórmula:
-
é o valor depositado por período (aqui ). -
é a taxa por período em forma decimal (aqui ). -
é o número total de depósitos/períodos (aqui ). - A razão: a soma dos
termos é , que é uma soma geométrica cujo resultado simplifica para a fórmula acima.
Passo 3
Derivação curta (para ver de onde vem a fórmula):
Aqui usei a soma da progressão geométrica com razão
e
termos.
Passo 4
Substituição dos números na fórmula:
-
. -
. -
.
Então
Passo 5
Cálculo de
de forma prática (agrupando potências por quadrados para reduzir trabalho manual):
-
. -
. -
. -
. - Finalmente
.
Passo 6
Continuando o cálculo do montante:
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o valor acumulado é
.
Passo 7
Interpretação final e dica rápida (ânimo!): após 24 depósitos mensais de
a
ao mês, o montante acumulado é cerca de
. Se por acaso os depósitos fossem feitos no início do mês (anuidade devida), multiplicaria esse resultado por
e o montante ficaria um pouco maior.