Uma pessoa deposita RS 1.000,00 mensalmente durante 24 meses a uma taxa de 1,2 \% ao mês. Determine o valor acumulado ao final do periodo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar claramente o que é pedido e os dados):
  • Depósito mensal (valor da prestação): \text{PMT} = \text{R\$ }1.000,00.
  • Número de depósitos (número de meses): n = 24.
  • Taxa de juros mensal: i = 1{,}2\% = 0{,}012 (na forma decimal).
    O que o exercício pede: determinar o valor acumulado ao final do período (ou seja, o montante depois de 24 meses), supondo depósitos mensais.
Observação de interpretação (importante): vou assumir que cada depósito é feito ao final de cada mês (caso clássico). Se os depósitos forem feitos no início de cada mês o resultado seria ligeiramente maior (anuidade devida). Aqui usarei a fórmula da anuidade ordinária (depósitos no final do período).

Passo 2

Conceito e ideia do cálculo (aula rápida e explicada com calma):
  • Cada depósito rende juros nos meses seguintes até o final do período. O último depósito (feito ao final do mês 24) não rende juros (rende 0 períodos), o depósito feito ao final do mês 23 rende juros por 1 mês, o feito ao final do mês 1 rende juros por 23 meses, etc.
  • Isso leva a uma soma de termos com potências de (1+i), que é uma progressão geométrica.
  • A fórmula para o valor futuro (montante) de uma anuidade ordinária (depósitos iguais \text{PMT} ao final de cada período, taxa por período i, por n períodos) é:
S = \text{PMT}\,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • \text{PMT} é o valor depositado por período (aqui \text{R\$ }1.000).
  • i é a taxa por período em forma decimal (aqui 0{,}012).
  • n é o número total de depósitos/períodos (aqui 24).
  • A razão: a soma dos n termos é \text{PMT}\big((1+i)^{n-1}+(1+i)^{n-2}+\cdots+(1+i)^0\big), que é uma soma geométrica cujo resultado simplifica para a fórmula acima.

Passo 3

Derivação curta (para ver de onde vem a fórmula):
S = \text{PMT}\sum_{k=0}^{n-1}(1+i)^{k} = \text{PMT}\,\frac{(1+i)^{n}-1}{(1+i)-1}=\text{PMT}\,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
Aqui usei a soma da progressão geométrica com razão (1+i) e n termos.

Passo 4

Substituição dos números na fórmula:
  • \text{PMT} = \text{R\$ }1.000.
  • i = 0{,}012.
  • n = 24.
    Então
S = 1000\cdot\frac{(1{,}012)^{24}-1}{0{,}012}.

Passo 5

Cálculo de (1{,}012)^{24} de forma prática (agrupando potências por quadrados para reduzir trabalho manual):
  • (1{,}012)^{2} = 1{,}024144.
  • (1{,}012)^{4} = (1{,}024144)^{2} \approx 1{,}048870932736.
  • (1{,}012)^{8} = (1{,}048870932736)^{2} \approx 1{,}1001302335384866.
  • (1{,}012)^{16} = (1{,}012)^{8}\!\,^2 \approx 1{,}2102865307454448.
  • Finalmente (1{,}012)^{24} = (1{,}012)^{16}\cdot(1{,}012)^{8} \approx 1{,}2102865307454448\cdot1{,}1001302335384866 \approx 1{,}3314728037174707.

Passo 6

Continuando o cálculo do montante:
(1{,}012)^{24}-1 \approx 1{,}3314728037174707 - 1 = 0{,}3314728037174707.
\frac{(1{,}012)^{24}-1}{0{,}012} \approx \frac{0{,}3314728037174707}{0{,}012} \approx 27{,}622733643122558.
S \approx 1000 \times 27{,}622733643122558 \approx 27{,}622{,}733643122558.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), o valor acumulado é \text{R\$ }27.622,73.

Passo 7

Interpretação final e dica rápida (ânimo!): após 24 depósitos mensais de \text{R\$}1.000 a 1{,}2\% ao mês, o montante acumulado é cerca de \text{R\$ }27.622,73. Se por acaso os depósitos fossem feitos no início do mês (anuidade devida), multiplicaria esse resultado por (1+i) e o montante ficaria um pouco maior.

Resposta

\text{R\$ }27.622,73

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