Uma empresa deseja comprar um equipamento, que deverá ser reposto continuamente. Existem duas opções de compra detalhadas no quadro abaixo:
Sendo a TMA igual a 20% a.a., determine:
a. A produção anual que deixe a empresa indiferente entre comprar A ou B. R.: Q=3.659
b. Para uma produção de 3.000 un, qual equipamento seria preferido. R.: \operatorname{CAUE}(3.000)= 50.974; C A U E_{B}(3.000)=52.292
Item Equipamento A Equipamento B
Custo Inicial $150.000 $200.000
Vida útil (anos) 10 15
Valor Residual $10.500 $20.500
Custo de manutenção ($/ano) $1.200 $1.400
Custos Variáveis ($/un) $4,80 $2,80
(Samanez, 2010)

Passo 1

O enunciado pede para comparar dois equipamentos A e B usando o custo anual equivalente por unidade produzida (CAUE), considerando reposição contínua a uma taxa mínima de atratividade de 20\% a.a. Vamos usar:
\text{CAUE}(Q)=P\,(A/P,i,n)-S\,(A/F,i,n)+C_m + c_v\,Q
onde
\;P =custo inicial,
\;S =valor residual,
\;n =vida útil,
\;i=0,2,
\;(A/P,i,n)=\dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},
\;(A/F,i,n)=\dfrac{i}{(1+i)^n-1},
\;C_m =custo de manutenção anual,
\;c_v =custo variável por unidade,
\;Q =produção anual (unidades).

Passo 2

Escrevemos as funções CAUE para A e B:
\text{CAUE}_A(Q) =150.000\,(A/P,0,2,10)-10.500\,(A/F,0,2,10)+1.200+4,8\,Q
\text{CAUE}_B(Q) =200.000\,(A/P,0,2,15)-20.500\,(A/F,0,2,15)+1.400+2,8\,Q

Passo 3

Calculamos os fatores de recuperação de capital:
Para A ( n=10):
(1,2)^{10}\approx6,1917,\quad (A/P,0,2,10)=\frac{0,2\cdot6,1917}{6,1917-1}\approx0,23855,\quad (A/F,0,2,10)=\frac{0,2}{6,1917-1}\approx0,03852
Logo
\text{CAUE}_A(Q)\approx150.000\cdot0,23855-10.500\cdot0,03852+1.200+4,8\,Q \approx36.577,3+4,8\,Q
Para B ( n=15):
(1,2)^{15}\approx15,407,\quad (A/P,0,2,15)=\frac{0,2\cdot15,407}{15,407-1}\approx0,21381,\quad (A/F,0,2,15)=\frac{0,2}{15,407-1}\approx0,01388
Logo
\text{CAUE}_B(Q)\approx200.000\cdot0,21381-20.500\cdot0,01388+1.400+2,8\,Q \approx43.877,0+2,8\,Q

Passo 4

Para indiferença, igualamos \text{CAUE}_A(Q)=\text{CAUE}_B(Q):
36.577,3+4,8\,Q=43.877,0+2,8\,Q \;\Longrightarrow\; 2\,Q=7.299,7 \;\Longrightarrow\; Q\approx3.659

Passo 5

Para Q=3.000 un:
\text{CAUE}_A(3.000)\approx36.577,3+4,8\cdot3.000\approx50.974
\text{CAUE}_B(3.000)\approx43.877,0+2,8\cdot3.000\approx52.292
Como \text{CAUE}_A<\text{CAUE}_B, prefere-se o equipamento A.

Resposta

(a) Q\approx3.659 un
(b) Prefere-se o equipamento A, pois \text{CAUE}_A(3.000)\approx50.974<52.292\approx\text{CAUE}_B(3.000).

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